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費馬問題 (第 6 頁)

康明昌

 

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.原載於數學傳播第七卷第四期、第八卷第一期
.作者當時任教於台大數學系

註釋
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Kummer 與代數數論

研究 Fermat 方程式 xn+yn=zn 是否有全異於零的整數解, 在l847年之前並沒有太大的進展。 正如從本文第4節看得出來的,n =4 的情況很簡單。 至於 n=3 的情況,可以說 Fermat 與 Euler 都有能力解決。 n=5 的情況是 Dirichlet 與 Legendre 獨立的在1825年才解決的, Dirichlet 在 1832 年又解決了 n=14 的情況, 1839 年 Gabriel Lamé(1795∼1871年)才解決了 n=7 的情況。 真正的突破是 Ernst Eduard Kummer(1810∼1893年)的研究成果, 他在1857 年證明:如果 n 是一個奇質數, $3 \leq n \leq 61$,且 $n \neq 37, 59$, 則 Fermat 方程式 xn + yn = zn 沒有全異於零的整數解。Kummer 不僅在 Fermet 問題作出歷史性的貢獻,他還開闢了一個新領域──代數數論 (algebraic number theory)。在介紹 Kummer 的工作之前,我們卻要把鏡頭轉到法國去。

1847年三月一日Lamé在巴黎科學院發表一個演講, 他宣布他可以解決Fermat問題。方法如下,

p 是奇質數,xyz是全異於零的整數且 xp + yp = zp 。令

\begin{displaymath}\zeta = e^{\frac{2 \pi \sqrt{-1}}{p}} \end{displaymath}

考慮

\begin{eqnarray*}
\qquad x^p &=& z^p - y^p \\
&=&(z-y)(z-\zeta y) \cdots (z-\xi^{p-1}y)
\end{eqnarray*}


如果 z-y,$z-\zeta y$,…, $z-\zeta^{p-1}y$兩兩互質, 則其皆為 p 次分圓整數環

\begin{displaymath}\mathbf{Z}[\zeta]=\{
\alpha_0 + \alpha_1\zeta + \cdots + \alpha_{p-2}\zeta^{p-2}
: \xi_i \in \mathbf{Z} \}
\end{displaymath}

之內的完全 p 方數。 利用無窮遞減法,我們可以由此導出矛盾。 在一般情形下,令 mz-y,$z-\zeta y$,…, $z-\zeta^{p-1}y$ 的最大公約數, 則 $\frac{z-y}{m}$, $\frac{z-\zeta y}{m}$,…, $\frac{z-\zeta^{p-1}y}{m}$ 的最大公約數,兩兩互質 註12 因此歸於以上的情況。

Lamé的演講其實有許多漏洞。第一, 他把整數的因數分解的所有性質全部搬到p次分圓整數環 $\mathbf{Z}[\zeta]$;事實上 $\mathbf{Z}[\zeta]$是否具有唯一分解性質都有疑問。 第二,他忽略了 $\mathbf{Z}[\zeta]$ 的可逆元素比整數的情況增加了很多(見上節基本性質2)。 第三,如何用無窮遞減法來導出矛盾,也令人非常懷疑。

Lamé 的演講內容真正有創意的部分是把複數 ζ 引入整數論的研究, 這個想法其實 Lagrange、Gauss、Jacobi 都使用過, 只是沒有像 Lamé 這麼興奮罷了。Lamé 的演講卻激起 Cauchy 的熱情。 他們為了修改這些漏洞足足瘋狂了兩、三個月。

1847年五月二十四日,Liouville 在巴黎科學院宣讀一封來自德國的信, 這個德國人 Kummer 告訴他們,在三年前他已經證明, 一般的 p 次分圓整數環 $\mathbf{Z}[\zeta]$ 沒有唯一分解的性質 註13 , 他的學生 Kronecker 在其博士論文把 $\mathbf{Z}[\zeta]$ 的可逆元素研究得清清楚楚。Kummer 還告訴他們,他在一年前創立了理想數 (ideal numbers) 的概念, 可以挽救 $\mathbf{Z}[\zeta]$ 沒有唯一分解性質所造成的困難。

以二次整數環 $\mathbf{Z}[\sqrt{-5}] =$ $\{ \alpha + \beta \sqrt{-5}$: α 與 β 是整數 } 為例。 請注意,

\begin{displaymath}
2 \cdot 3 = (1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})
\end{displaymath}

並且2,3,$1+\sqrt{-5}$, $1-\sqrt{-5}$,都是不可約元素 註14 。 因此唯一分解性質在 $\mathbf{Z}[\sqrt{-5}]$ 是不對的。 Kummer 的解決辦法是,假想有一些「數」α,β,γ,δ 滿足

\begin{displaymath}
\begin{eqalign}
2 = \alpha \cdot \beta \quad,
& \quad 3= \...
... \quad,
& \quad 1-\sqrt{-5} = \beta \cdot \delta
\end{eqalign}\end{displaymath}

那麼 $\mathbf{Z}[\sqrt{-5}]$ 沒有唯一分解的性質這個事實就沒有那麼可怕。 它缺乏這些理想的數 α,β,γ,δ, 所以沒有唯一分解的性質。如果把這些理想數加進 $\mathbf{Z}[\sqrt{-5}]$,它就有唯一分解的性質。

這些理想數並不是在 $\mathbf{Z}[\sqrt{-5}]$$\mathbf{Q}[\sqrt{-5}] =$ $\{ \alpha + \beta \sqrt{-5}: \alpha$ 與 β 是有理數 } 找得到的。事實上,令

\begin{eqnarray*}
\alpha &=& 1+ \sqrt{-1} \quad , \qquad \beta = 1 - \sqrt{-1} \...
...-\sqrt{-5}}{1-\sqrt{-1}} = -2 -\frac{\sqrt{-5}-\sqrt{-1}}{2} \\
\end{eqnarray*}


原來α,β,γ,δ,可以躲在

\begin{displaymath}
\mathbf{Q} [ \sqrt{-5} , \sqrt{-1} ] = \{ a + b \sqrt{-5} + c \sqrt{-1} + d \sqrt{5} \; : \; a,b,c,d \in \mathbf{Q} \}
\end{displaymath}

用近世的代數數論的眼光來看, $\mathbf{Q}[ \sqrt{-5} , \sqrt{-1}]$$\mathbf{Q}[ \sqrt{-5} ]$ (或 $\mathbf{Z}[\sqrt{-5}]$ 的類體 (class field) $\mathbf{Z}[\sqrt{-5}]$ 的理想數全部躲在其類體堶情C

Kummer 憑空造出理想數卻有一段因緣。在十九世紀初期,人類已經知道很多氯化物, 卻不能把氯氣分離出來。Kummer 認為,理想數就像不能分離的氯氣,在 $\mathbf{Q}[ \sqrt{-5} ]$ 不一定找尋得到。因此 Kummer 認為, $\mathbf{Z}[\sqrt{-5}]$ 的因數分解不應以 $\mathbf{Z}[\sqrt{-5}]$ 的數為限,還應該把理想數也包括進去。 Kummer 的方法用現代的語言來講就是除子理論 (divisor theory)。 可是 Kummer 這套方法對十九世紀的人未免太玄奧了, 因此 Richard Dedekind(1831∼1916年)與 Leopold Kroneker(1823∼1891年)各提出一套修正的理論。以下就介紹 Dedekind 的理論。

Dedekind 的辦法是用「集合」來代替「數」。 例如,在整數之內,質數 5 可以用集合 $(5)= \{ 5n : n \mbox{{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 117}\hsk...
...t plus0.2pt minus0.1pt{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 98}} \}$ 來「表示」。(注意,集合(5)與集合(-5)是相同的集合。這不奇怪,質數 5 與 -5 有什麼不一樣?)同樣的,在 $\mathbf{Z}[\sqrt{-5}]$ 之內,3 就用集合 $(3)= \{ 3u : u \in \mathbf{Z}[\sqrt{-5}] \}$ 表示, 理想數 α 就用 $\mathbf{Z}[\sqrt{-5}]$ $\cap$ { $\alpha v:v$$\mathbf{Q}[ \sqrt{-5} , \sqrt{-1}]$ 之內的代數整數 }表示。 註15 這些集合,姑且叫做 I ,有一些共同的特性:

(i) 若 $u,v \in I$, 則 $ u+v \in I$ ;
(ii)若 $u \in I , v \in \mathbf{Z}[\sqrt{-5}]$,則 $uv \in I$
最幸運的是,具有以上兩個性質的集合剛好可以捕捉 Kummer 的理想數。因此,若 p 是一個奇質數,

\begin{eqnarray*}
& \zeta = e^{\frac{2 \pi -1}{p}} \\
& \mathbf{Z}[\zeta] = \{ ...
... + \cdots + a_{p-2}\zeta^{p-2} \quad
: \, a_i \in \mathbf{Z} \}
\end{eqnarray*}


p 次分圓整數環,I$\mathbf{Z}[\zeta]$ 的非空集合的子集合, Dedekind 把滿足以下兩個性質的 I 叫 理想集合 (ideal):

(i)若 $u,v \in I$,則 $ u+v \in I$
(ii)若 $u \in I$$v \in \mathbf{Z}[\zeta]$$uv \in I$

$\mathbf{Z}[\zeta]$ 本身也是一個理想集合。只包括零元素的集合也是理想集合, 我們把它記為 0。兩個理想集合 IJ 可以「相乘」,定義為

\begin{displaymath}
I \cdot J = \{ u_i v_i + \cdots + u_n v_n : u_i \in I , v_i ...
...0.1pt{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 98}} \}
\end{displaymath}

一個理想集合 I 叫 質理想集合 (prime ideal),如果 I 滿足

(i)若 $I \neq 0$ $\mathbf{Z}[\zeta]$
(ii)若 $xy \in I$,且 $x ,y \in \mathbf{Z}[\zeta]$$x \in I$$y \in I$

質理想集合是「質數」概念的推廣,第(i)個性質就像是規定 0,$\pm1$ 都不是質數, 第(ii)個性質就像是通稱的 Euclid 性質:若 p 是質數,且 p 整除 xy,則 p 必整除 xy。運用理想集合的概念,可以把 Kummer 第一個主要定理敘述如下:

第一定理: 若 p 是奇質數,Ip 次分圓整數環 $\mathbf{Z}[\zeta]$ 的理想集合, 若 $I \neq 0$$\mathbf{Z}[\zeta]$, 則 I 可寫成 $P_1 \cdots P_n$ 的型式, 其中 Pi 是質理想集合; 如果 I 另外也可寫成 $Q_1 \cdots Q_m$ 的型式, 其中 Qi ,是質理想集合, 則 n=m 並且(經過適當的重新排列之後)Pi=Qi

p 次分圓整數環 $\mathbf{Z}[\zeta]$ 之內,不為零的理想集合, 雖然有無窮無盡之多,我們卻可以做個分類:把兩個理想集合 IJ 歸在同一類, 如果 I = xJ,其中 x$\mathbf{Q}[\zeta]$ 的某個元素, xJ 代表集合 $\{ x u : u \in J \}$。 用這個分類法, $\mathbf{Z}[\zeta]$ 內不為零的理想集合的種類只不過是個有限數, 這個數目叫做 p 次分圓整數環的類數 (class number)。 類數會隨 p 的變化而改變。類數為1的充要條件是這個分圓整數環具有唯一分解的性質。 (這並不是顯而易見的定理。)

如果奇質數 p 不能整除 p 次分圓整數環的類數, 那麼 p 就叫做規則質數(Regular prime)。

1847年十月,約在 Lamé 演講之後半年,Kummer 證明他的第二個主要定理,

第二定理:
(1) 若 p 是規則質數,則 Fermat 方程式 xp + yp = zp 沒有全異於零的整數解。
(2) p 是規則質數的充要條件是 p 不整除 $B_2 \cdot B_4 \cdots B_{p-3}$, 其中 Bi 是有名的 Bernoulli 數,可以定義如下:

\begin{displaymath}
1+B_1t + \frac{B_2}{2!}t^2 + \frac{B_3}{3!}t^3 + \cdots
+ \frac{B_k}{k!}t^k + \cdots = \frac{t}{e^t -1}
\end{displaymath}

Kummer 檢查一些 Bernoulli 數,發現:從 3 到61之間的質數, 只有37與59是不規則質數(其實,在100之內的不規則質數只有 37,59,67。)。 因此他就把 Fermat 問題的研究大大的往前推動了。 1850年巴黎科學院懸賞 Fermat 問題,由於所有的應徵信件都毫無新的突破, 七年之後這個獎只好頒給 Kummer,雖然 Kummer 沒有去應徵。

可惜的是,規則質數究竟有多少,我們到現在都不知道。我們甚至不知道規則質數是不是無窮多個。 不規則質數是無窮多個,這倒是能夠證明。統計的數字使我們相信,規則質數可能比不規則質數還要多出一些。

Kummer 生於普魯士一個貧困的家庭。1831年,21歲的時候得到 Halle 大學的博士學位。 此後在中學教了十年書,並且還參加過志願軍。服役期間,他寄了一篇論文給 C.G.J. Jacobi(1804∼1851年),Jacobi 吃了一驚說: 「如果普魯士的小兵都能夠做出這麼好的數學,他們的軍官的表現倒是有的瞧囉!」

1842年他到 Breslau 大學教書,1853年轉到 Berlin 大學。自從 Dirichlet、Riemann 在十九世紀六十年代相繼去世,Kummer、Kronecker、Weierstrass 任教的 Berlin 大學隱然成為德國數學的重鎮。 1886年 Felix Klein 到 Göttingen 大學之後,情況才有所改變。

Kummer 不僅在 Fermat 問題的研究做出劃時代的貢獻,他還打開代數數論的第一道大門。 分圓整數環只是一種特殊的代數整數環 (the rings of algebraic integers)。 研究各種代數整數環的類數、可逆元素、質數分解情形,是近世的代數數論的開宗明義第一章。

   

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編輯:康明軒 最後修改日期:4/26/2002