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Kummer »P¥N¼Æ¼Æ½×

¬ã¨s Fermat ¤èµ{¦¡ xn+yn=zn ¬O§_¦³¥þ²§©ó¹sªº¾ã¼Æ¸Ñ¡A ¦bl847¦~¤§«e¨Ã¨S¦³¤Ó¤jªº¶i®i¡C ¥¿¦p±q¥»¤å²Ä4¸`¬Ý±o¥X¨Óªº¡An =4 ªº±¡ªp«Ü²³æ¡C ¦Ü©ó n=3 ªº±¡ªp¡A¥i¥H»¡ Fermat »P Euler ³£¦³¯à¤O¸Ñ¨M¡C n=5 ªº±¡ªp¬O Dirichlet »P Legendre ¿W¥ßªº¦b1825¦~¤~¸Ñ¨Mªº¡A Dirichlet ¦b 1832 ¦~¤S¸Ñ¨M¤F n=14 ªº±¡ªp¡A 1839 ¦~ Gabriel Lamé¡]1795¡ã1871¦~¡^¤~¸Ñ¨M¤F n=7 ªº±¡ªp¡C ¯u¥¿ªº¬ð¯}¬O Ernst Eduard Kummer¡]1810¡ã1893¦~¡^ªº¬ã¨s¦¨ªG¡A ¥L¦b1857 ¦~ÃÒ©ú¡G¦pªG n ¬O¤@­Ó©_½è¼Æ¡A $3 \leq n \leq 61$¡A¥B $n \neq 37, 59$¡A «h Fermat ¤èµ{¦¡ xn + yn = zn ¨S¦³¥þ²§©ó¹sªº¾ã¼Æ¸Ñ¡CKummer ¤£¶È¦b Fermet °ÝÃD§@¥X¾ú¥v©Êªº°^Äm¡A¥LÁÙ¶}ÅP¤F¤@­Ó·s»â°ì¢w¢w¥N¼Æ¼Æ½× (algebraic number theory)¡C¦b¤¶²Ð Kummer ªº¤u§@¤§«e¡A§Ú­Ì«o­n§âÃèÀYÂà¨ìªk°ê¥h¡C

1847¦~¤T¤ë¤@¤éLamé¦b¤Ú¾¤¬ì¾Ç°|µoªí¤@­ÓºtÁ¿¡A ¥L«Å¥¬¥L¥i¥H¸Ñ¨MFermat°ÝÃD¡C¤èªk¦p¤U¡A

­Y p ¬O©_½è¼Æ¡Ax¡Ay¡Az¬O¥þ²§©ó¹sªº¾ã¼Æ¥B xp + yp = zp ¡C¥O

\begin{displaymath}\zeta = e^{\frac{2 \pi \sqrt{-1}}{p}} \end{displaymath}

¦Ò¼{

\begin{eqnarray*}
\qquad x^p &=& z^p - y^p \\
&=&(z-y)(z-\zeta y) \cdots (z-\xi^{p-1}y)
\end{eqnarray*}


¦pªG z-y,$z-\zeta y$,¡K, $z-\zeta^{p-1}y$¨â¨â¤¬½è¡A «h¨ä¬Ò¬° p ¦¸¤À¶ê¾ã¼ÆÀô

\begin{displaymath}\mathbf{Z}[\zeta]=\{
\alpha_0 + \alpha_1\zeta + \cdots + \alpha_{p-2}\zeta^{p-2}
: \xi_i \in \mathbf{Z} \}
\end{displaymath}

¤§¤ºªº§¹¥þ p ¤è¼Æ¡C §Q¥ÎµL½a»¼´îªk¡A§Ú­Ì¥i¥H¥Ñ¦¹¾É¥X¥Ù¬Þ¡C ¦b¤@¯ë±¡§Î¤U¡A¥O m ¬O z-y,$z-\zeta y$,¡K, $z-\zeta^{p-1}y$ ªº³Ì¤j¤½¬ù¼Æ¡A «h $\frac{z-y}{m}$, $\frac{z-\zeta y}{m}$,¡K, $\frac{z-\zeta^{p-1}y}{m}$ ªº³Ì¤j¤½¬ù¼Æ¡A¨â¨â¤¬½è µù12 ¦]¦¹Âk©ó¥H¤Wªº±¡ªp¡C

Lam骺ºtÁ¿¨ä¹ê¦³³\¦hº|¬}¡C²Ä¤@¡A ¥L§â¾ã¼Æªº¦]¼Æ¤À¸Ñªº©Ò¦³©Ê½è¥þ³¡·h¨ìp¦¸¤À¶ê¾ã¼ÆÀô $\mathbf{Z}[\zeta]$¡F¨Æ¹ê¤W $\mathbf{Z}[\zeta]$¬O§_¨ã¦³°ß¤@¤À¸Ñ©Ê½è³£¦³ºÃ°Ý¡C ²Ä¤G¡A¥L©¿²¤¤F $\mathbf{Z}[\zeta]$ ªº¥i°f¤¸¯À¤ñ¾ã¼Æªº±¡ªp¼W¥[¤F«Ü¦h(¨£¤W¸`°ò¥»©Ê½è2)¡C ²Ä¤T¡A¦p¦ó¥ÎµL½a»¼´îªk¨Ó¾É¥X¥Ù¬Þ¡A¤]¥O¤H«D±`ÃhºÃ¡C

Lamé ªººtÁ¿¤º®e¯u¥¿¦³³Ð·Nªº³¡¤À¬O§â½Æ¼Æ £a ¤Þ¤J¾ã¼Æ½×ªº¬ã¨s¡A ³o­Ó·Qªk¨ä¹ê Lagrange¡BGauss¡BJacobi ³£¨Ï¥Î¹L¡A ¥u¬O¨S¦³¹³ Lamé ³o»ò¿³¾Ä½}¤F¡CLamé ªººtÁ¿«o¿E°_ Cauchy ªº¼ö±¡¡C ¥L­Ì¬°¤F­×§ï³o¨Çº|¬}¨¬¨¬ºÆ¨g¤F¨â¡B¤T­Ó¤ë¡C

1847¦~¤­¤ë¤G¤Q¥|¤é¡ALiouville ¦b¤Ú¾¤¬ì¾Ç°|«ÅŪ¤@«Ê¨Ó¦Û¼w°êªº«H¡A ³o­Ó¼w°ê¤H Kummer §i¶D¥L­Ì¡A¦b¤T¦~«e¥L¤w¸gÃÒ©ú¡A ¤@¯ëªº p ¦¸¤À¶ê¾ã¼ÆÀô $\mathbf{Z}[\zeta]$ ¨S¦³°ß¤@¤À¸Ñªº©Ê½è µù13 ¡A ¥Lªº¾Ç¥Í Kronecker ¦b¨ä³Õ¤h½×¤å§â $\mathbf{Z}[\zeta]$ ªº¥i°f¤¸¯À¬ã¨s±o²M²M·¡·¡¡CKummer ÁÙ§i¶D¥L­Ì¡A¥L¦b¤@¦~«e³Ð¥ß¤F²z·Q¼Æ (ideal numbers) ªº·§©À¡A ¥i¥H®¾±Ï $\mathbf{Z}[\zeta]$ ¨S¦³°ß¤@¤À¸Ñ©Ê½è©Ò³y¦¨ªº§xÃø¡C

¥H¤G¦¸¾ã¼ÆÀô $\mathbf{Z}[\sqrt{-5}] =$ $\{ \alpha + \beta \sqrt{-5}$: £\ »P £] ¬O¾ã¼Æ } ¬°¨Ò¡C ½Ðª`·N¡A

\begin{displaymath}
2 \cdot 3 = (1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})
\end{displaymath}

¨Ã¥B2¡A3¡A$1+\sqrt{-5}$, $1-\sqrt{-5}$¡A³£¬O¤£¥i¬ù¤¸¯À µù14 ¡C ¦]¦¹°ß¤@¤À¸Ñ©Ê½è¦b $\mathbf{Z}[\sqrt{-5}]$ ¬O¤£¹ïªº¡C Kummer ªº¸Ñ¨M¿ìªk¬O¡A°²·Q¦³¤@¨Ç¡u¼Æ¡v£\,£],£^,£_ º¡¨¬

\begin{displaymath}
\begin{eqalign}
2 = \alpha \cdot \beta \quad,
& \quad 3= \...
... \quad,
& \quad 1-\sqrt{-5} = \beta \cdot \delta
\end{eqalign}\end{displaymath}

¨º»ò $\mathbf{Z}[\sqrt{-5}]$ ¨S¦³°ß¤@¤À¸Ñªº©Ê½è³o­Ó¨Æ¹ê´N¨S¦³¨º»ò¥i©È¡C ¥¦¯Ê¥F³o¨Ç²z·Qªº¼Æ £\,£],£^,£_¡A ©Ò¥H¨S¦³°ß¤@¤À¸Ñªº©Ê½è¡C¦pªG§â³o¨Ç²z·Q¼Æ¥[¶i $\mathbf{Z}[\sqrt{-5}]$¡A¥¦´N¦³°ß¤@¤À¸Ñªº©Ê½è¡C

³o¨Ç²z·Q¼Æ¨Ã¤£¬O¦b $\mathbf{Z}[\sqrt{-5}]$ ©Î $\mathbf{Q}[\sqrt{-5}] =$ $\{ \alpha + \beta \sqrt{-5}: \alpha$ »P £] ¬O¦³²z¼Æ } §ä±o¨ìªº¡C¨Æ¹ê¤W¡A¥O

\begin{eqnarray*}
\alpha &=& 1+ \sqrt{-1} \quad , \qquad \beta = 1 - \sqrt{-1} \...
...-\sqrt{-5}}{1-\sqrt{-1}} = -2 -\frac{\sqrt{-5}-\sqrt{-1}}{2} \\
\end{eqnarray*}


­ì¨Ó£\¡A£]¡A£^¡A£_¡A¥i¥H¸ú¦b

\begin{displaymath}
\mathbf{Q} [ \sqrt{-5} , \sqrt{-1} ] = \{ a + b \sqrt{-5} + c \sqrt{-1} + d \sqrt{5} \; : \; a,b,c,d \in \mathbf{Q} \}
\end{displaymath}

¥Îªñ¥@ªº¥N¼Æ¼Æ½×ªº²´¥ú¨Ó¬Ý¡A $\mathbf{Q}[ \sqrt{-5} , \sqrt{-1}]$ ¬O $\mathbf{Q}[ \sqrt{-5} ]$ ¡]©Î $\mathbf{Z}[\sqrt{-5}]$ ªºÃþÅé (class field) $\mathbf{Z}[\sqrt{-5}]$ ªº²z·Q¼Æ¥þ³¡¸ú¦b¨äÃþÅéùØ­±¡C

Kummer ¾ÌªÅ³y¥X²z·Q¼Æ«o¦³¤@¬q¦]½t¡C¦b¤Q¤E¥@¬öªì´Á¡A¤HÃþ¤w¸gª¾¹D«Ü¦h´â¤Æª«¡A «o¤£¯à§â´â®ð¤ÀÂ÷¥X¨Ó¡CKummer »{¬°¡A²z·Q¼Æ´N¹³¤£¯à¤ÀÂ÷ªº´â®ð¡A¦b $\mathbf{Q}[ \sqrt{-5} ]$ ¤£¤@©w§ä´M±o¨ì¡C¦]¦¹ Kummer »{¬°¡A $\mathbf{Z}[\sqrt{-5}]$ ªº¦]¼Æ¤À¸Ñ¤£À³¥H $\mathbf{Z}[\sqrt{-5}]$ ªº¼Æ¬°­­¡AÁÙÀ³¸Ó§â²z·Q¼Æ¤]¥]¬A¶i¥h¡C Kummer ªº¤èªk¥Î²{¥Nªº»y¨¥¨ÓÁ¿´N¬O°£¤l²z½× (divisor theory)¡C ¥i¬O Kummer ³o®M¤èªk¹ï¤Q¤E¥@¬öªº¤H¥¼§K¤Ó¥È¶ø¤F¡A ¦]¦¹ Richard Dedekind¡]1831¡ã1916¦~¡^»P Leopold Kroneker¡]1823¡ã1891¦~¡^¦U´£¥X¤@®M­×¥¿ªº²z½×¡C¥H¤U´N¤¶²Ð Dedekind ªº²z½×¡C

Dedekind ªº¿ìªk¬O¥Î¡u¶°¦X¡v¨Ó¥N´À¡u¼Æ¡v¡C ¨Ò¦p¡A¦b¾ã¼Æ¤§¤º¡A½è¼Æ 5 ¥i¥H¥Î¶°¦X $(5)= \{ 5n : n \mbox{{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 117}\hsk...
...t plus0.2pt minus0.1pt{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 98}} \}$ ¨Ó¡uªí¥Ü¡v¡C¡]ª`·N¡A¶°¦X(5)»P¶°¦X(-5)¬O¬Û¦Pªº¶°¦X¡C³o¤£©_©Ç¡A½è¼Æ 5 »P -5 ¦³¤°»ò¤£¤@¼Ë¡H¡^¦P¼Ëªº¡A¦b $\mathbf{Z}[\sqrt{-5}]$ ¤§¤º¡A3 ´N¥Î¶°¦X $(3)= \{ 3u : u \in \mathbf{Z}[\sqrt{-5}] \}$ ªí¥Ü¡A ²z·Q¼Æ £\ ´N¥Î $\mathbf{Z}[\sqrt{-5}]$ $\cap$ { $\alpha v:v$ ¬O $\mathbf{Q}[ \sqrt{-5} , \sqrt{-1}]$ ¤§¤ºªº¥N¼Æ¾ã¼Æ }ªí¥Ü¡C µù15 ³o¨Ç¶°¦X¡A©h¥B¥s°µ I ¡A¦³¤@¨Ç¦@¦Pªº¯S©Ê:

(i) ­Y $u,v \in I$, «h $ u+v \in I$ ;
(ii)­Y $u \in I , v \in \mathbf{Z}[\sqrt{-5}]$¡A«h $uv \in I$
³Ì©¯¹Bªº¬O¡A¨ã¦³¥H¤W¨â­Ó©Ê½èªº¶°¦X­è¦n¥i¥H®·®» Kummer ªº²z·Q¼Æ¡C¦]¦¹¡A­Y p ¬O¤@­Ó©_½è¼Æ¡A

\begin{eqnarray*}
& \zeta = e^{\frac{2 \pi -1}{p}} \\
& \mathbf{Z}[\zeta] = \{ ...
... + \cdots + a_{p-2}\zeta^{p-2} \quad
: \, a_i \in \mathbf{Z} \}
\end{eqnarray*}


¬O p ¦¸¤À¶ê¾ã¼ÆÀô¡AI ¬O $\mathbf{Z}[\zeta]$ ªº«DªÅ¶°¦Xªº¤l¶°¦X¡A Dedekind §âº¡¨¬¥H¤U¨â­Ó©Ê½èªº I ¥s ²z·Q¶°¦X (ideal)¡G

(i)­Y $u,v \in I$¡A«h $ u+v \in I$
(ii)­Y $u \in I$¡A $v \in \mathbf{Z}[\zeta]$ «h $uv \in I$

$\mathbf{Z}[\zeta]$ ¥»¨­¤]¬O¤@­Ó²z·Q¶°¦X¡C¥u¥]¬A¹s¤¸¯Àªº¶°¦X¤]¬O²z·Q¶°¦X¡A §Ú­Ì§â¥¦°O¬° 0¡C¨â­Ó²z·Q¶°¦X I »P J ¥i¥H¡u¬Û­¼¡v¡A©w¸q¬°

\begin{displaymath}
I \cdot J = \{ u_i v_i + \cdots + u_n v_n : u_i \in I , v_i ...
...0.1pt{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 98}} \}
\end{displaymath}

¤@­Ó²z·Q¶°¦X I ¥s ½è²z·Q¶°¦X (prime ideal)¡A¦pªG I º¡¨¬

(i)­Y $I \neq 0$¡A $\mathbf{Z}[\zeta]$
(ii)­Y $xy \in I$¡A¥B $x ,y \in \mathbf{Z}[\zeta]$ «h $x \in I$ ©Î $y \in I$¡C

½è²z·Q¶°¦X¬O¡u½è¼Æ¡v·§©Àªº±À¼s¡A²Ä(i)­Ó©Ê½è´N¹³¬O³W©w 0¡A$\pm1$ ³£¤£¬O½è¼Æ¡A ²Ä(ii)­Ó©Ê½è´N¹³¬O³qºÙªº Euclid ©Ê½è¡G­Y p ¬O½è¼Æ¡A¥B p ¾ã°£ xy¡A«h p ¥²¾ã°£ x ©Î y¡C¹B¥Î²z·Q¶°¦Xªº·§©À¡A¥i¥H§â Kummer ²Ä¤@­Ó¥D­n©w²z±Ô­z¦p¤U¡G

²Ä¤@©w²z¡G ­Y p ¬O©_½è¼Æ¡AI ¬O p ¦¸¤À¶ê¾ã¼ÆÀô $\mathbf{Z}[\zeta]$ ªº²z·Q¶°¦X¡A ­Y $I \neq 0$¡A $\mathbf{Z}[\zeta]$¡A «h I ¥i¼g¦¨ $P_1 \cdots P_n$ ªº«¬¦¡¡A ¨ä¤¤ Pi ¬O½è²z·Q¶°¦X¡F ¦pªG I ¥t¥~¤]¥i¼g¦¨ $Q_1 \cdots Q_m$ ªº«¬¦¡¡A ¨ä¤¤ Qi ¡A¬O½è²z·Q¶°¦X¡A «h n=m ¨Ã¥B¡]¸g¹L¾A·íªº­«·s±Æ¦C¤§«á¡^Pi=Qi¡C

¦b p ¦¸¤À¶ê¾ã¼ÆÀô $\mathbf{Z}[\zeta]$ ¤§¤º¡A¤£¬°¹sªº²z·Q¶°¦X¡A ÁöµM¦³µL½aµLºÉ¤§¦h¡A§Ú­Ì«o¥i¥H°µ­Ó¤ÀÃþ:§â¨â­Ó²z·Q¶°¦X I »P J Âk¦b¦P¤@Ãþ¡A ¦pªG I = xJ¡A¨ä¤¤ x ¬O $\mathbf{Q}[\zeta]$ ªº¬Y­Ó¤¸¯À¡A xJ ¥Nªí¶°¦X $\{ x u : u \in J \}$¡C ¥Î³o­Ó¤ÀÃþªk¡A $\mathbf{Z}[\zeta]$ ¤º¤£¬°¹sªº²z·Q¶°¦XªººØÃþ¥u¤£¹L¬O­Ó¦³­­¼Æ¡A ³o­Ó¼Æ¥Ø¥s°µ p ¦¸¤À¶ê¾ã¼ÆÀôªºÃþ¼Æ (class number)¡C Ãþ¼Æ·|ÀH p ªºÅܤƦӧïÅÜ¡CÃþ¼Æ¬°1ªº¥R­n±ø¥ó¬O³o­Ó¤À¶ê¾ã¼ÆÀô¨ã¦³°ß¤@¤À¸Ñªº©Ê½è¡C ¡]³o¨Ã¤£¬OÅã¦Ó©ö¨£ªº©w²z¡C¡^

¦pªG©_½è¼Æ p ¤£¯à¾ã°£ p ¦¸¤À¶ê¾ã¼ÆÀôªºÃþ¼Æ¡A ¨º»ò p ´N¥s°µ³W«h½è¼Æ(Regular prime)¡C

1847¦~¤Q¤ë¡A¬ù¦b Lamé ºtÁ¿¤§«á¥b¦~¡AKummer ÃÒ©ú¥Lªº²Ä¤G­Ó¥D­n©w²z¡A

²Ä¤G©w²z¡G
(1) ­Y p ¬O³W«h½è¼Æ¡A«h Fermat ¤èµ{¦¡ xp + yp = zp ¨S¦³¥þ²§©ó¹sªº¾ã¼Æ¸Ñ¡C
(2) p ¬O³W«h½è¼Æªº¥R­n±ø¥ó¬O p ¤£¾ã°£ $B_2 \cdot B_4 \cdots B_{p-3}$, ¨ä¤¤ Bi ¬O¦³¦Wªº Bernoulli ¼Æ¡A¥i¥H©w¸q¦p¤U¡G

\begin{displaymath}
1+B_1t + \frac{B_2}{2!}t^2 + \frac{B_3}{3!}t^3 + \cdots
+ \frac{B_k}{k!}t^k + \cdots = \frac{t}{e^t -1}
\end{displaymath}

Kummer Àˬd¤@¨Ç Bernoulli ¼Æ¡Aµo²{¡G±q 3 ¨ì61¤§¶¡ªº½è¼Æ¡A ¥u¦³37»P59¬O¤£³W«h½è¼Æ¡]¨ä¹ê¡A¦b100¤§¤ºªº¤£³W«h½è¼Æ¥u¦³ 37,59,67¡C¡^¡C ¦]¦¹¥L´N§â Fermat °ÝÃDªº¬ã¨s¤j¤jªº©¹«e±À°Ê¤F¡C 1850¦~¤Ú¾¤¬ì¾Ç°|Äa½à Fermat °ÝÃD¡A¥Ñ©ó©Ò¦³ªºÀ³¼x«H¥ó³£²@µL·sªº¬ð¯}¡A ¤C¦~¤§«á³o­Ó¼ú¥u¦n¹{µ¹ Kummer¡AÁöµM Kummer ¨S¦³¥hÀ³¼x¡C

¥i±¤ªº¬O¡A³W«h½è¼Æ¨s³º¦³¦h¤Ö¡A§Ú­Ì¨ì²{¦b³£¤£ª¾¹D¡C§Ú­Ì¬Æ¦Ü¤£ª¾¹D³W«h½è¼Æ¬O¤£¬OµL½a¦h­Ó¡C ¤£³W«h½è¼Æ¬OµL½a¦h­Ó¡A³o­Ë¬O¯à°÷ÃÒ©ú¡C²Î­pªº¼Æ¦r¨Ï§Ú­Ì¬Û«H¡A³W«h½è¼Æ¥i¯à¤ñ¤£³W«h½è¼ÆÁÙ­n¦h¥X¤@¨Ç¡C

Kummer ¥Í©ó´¶¾|¤h¤@­Ó³h§xªº®a®x¡C1831¦~¡A21·³ªº®É­Ô±o¨ì Halle ¤j¾Çªº³Õ¤h¾Ç¦ì¡C ¦¹«á¦b¤¤¾Ç±Ð¤F¤Q¦~®Ñ¡A¨Ã¥BÁÙ°Ñ¥[¹L§ÓÄ@­x¡CªA§Ð´Á¶¡¡A¥L±H¤F¤@½g½×¤åµ¹ C.G.J. Jacobi¡]1804¡ã1851¦~¡^¡AJacobi ¦Y¤F¤@Å廡¡G ¡u¦pªG´¶¾|¤hªº¤p§L³£¯à°÷°µ¥X³o»ò¦nªº¼Æ¾Ç¡A¥L­Ìªº­x©xªºªí²{­Ë¬O¦³ªºÁ@Åo¡I¡v

1842¦~¥L¨ì Breslau ¤j¾Ç±Ð®Ñ¡A1853¦~Âà¨ì Berlin ¤j¾Ç¡C¦Û±q Dirichlet¡BRiemann ¦b¤Q¤E¥@¬ö¤»¤Q¦~¥N¬ÛÄ~¥h¥@¡AKummer¡BKronecker¡BWeierstrass ¥ô±Ðªº Berlin ¤j¾ÇÁôµM¦¨¬°¼w°ê¼Æ¾Çªº­«Âí¡C 1886¦~ Felix Klein ¨ì Göttingen ¤j¾Ç¤§«á¡A±¡ªp¤~¦³©Ò§ïÅÜ¡C

Kummer ¤£¶È¦b Fermat °ÝÃDªº¬ã¨s°µ¥X¹º®É¥Nªº°^Äm¡A¥LÁÙ¥´¶}¥N¼Æ¼Æ½×ªº²Ä¤@¹D¤jªù¡C ¤À¶ê¾ã¼ÆÀô¥u¬O¤@ºØ¯S®íªº¥N¼Æ¾ã¼ÆÀô (the rings of algebraic integers)¡C ¬ã¨s¦UºØ¥N¼Æ¾ã¼ÆÀôªºÃþ¼Æ¡B¥i°f¤¸¯À¡B½è¼Æ¤À¸Ñ±¡§Î¡A¬Oªñ¥@ªº¥N¼Æ¼Æ½×ªº¶}©v©ú¸q²Ä¤@³¹¡C

   

¤W­¶¡@1¢x2¢x3¢x4¢x5¢x6¢x7¢x8¡@¦¸­¶

¦^­¶­º
 
¡]­Y¦³«ü¥¿¡BºÃ°Ý¡K¡K¡A¥i¥H¦b¦¹ ¯d¨¥ ©Î ¼g«H µ¹§Ú­Ì¡C¡^
EpisteMath

EpisteMath (c) 2000 ¤¤¥¡¬ã¨s°|¼Æ¾Ç©Ò¡B¥x¤j¼Æ¾Ç¨t
¦Uºô­¶¤å³¹¤º®e¤§µÛ§@Åv¬°­ìµÛ§@¤H©Ò¦³


½s¿è¡G±d©ú°a ³Ì«á­×§ï¤é´Á¡G4/26/2002