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三等分任意角可能嗎？ （第 9 頁）

曹亮吉

 


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．原載於科學月刊第九卷第四期
．作者當時任教於台大數學系
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任意角不能三等分

經過這樣的分析後，我們可以證明三等分任意角的不可能性了。其要點有二，一為:不是任何實數都是可做數，一為：假定一角可以三等分，則某個線段長 x 為可做，但由代數的分析又知 x 不為任何 n 階數，故得矛盾。

詳細的討論如下：設 $\angle O$ 為給定的一角。假定用直尺及圓規可以將 $\angle O$ 三等分，即可以做直線 OT 而有如圖七所示的關係。今在 $\angle O$ 的一邊上任取一點 A，以 O 為圓心，OA 為半徑做弧交 $\angle O$ 的另一邊於 B，交 OT 於 C。做 $AD\perp OB$,$CE\perp OB$。我們可以假定 OA 的長度為單位長。（其他線段的長度則由與 OA 相比而得）令 OD 長為 a，OE 長為 x（即 OD 長為 OA 長的 a 倍，OE 長為 OA 長的 x 倍）。則 $a=\cos 3\theta$,$x=\cos\theta$。由 $\cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$，則得 a=4x3-3x。由此可知，如果 $\angle O$ 可以三等分，則由線段 OA 出發，x 是可做的，而且滿足上述的關係。但對某些 a 來說，這是一種矛盾。為此，我們證明一個比較廣泛的定理。


圖七

定理一：若有理係數方程式 ax3+bx2+cx+d=0 為不可約（在有理數中），則其三根皆為不可做。

證明：若不然，設 x1 為可做根中純階數最低的一根。設其純階數為 n。則 $x_1=e+f\sqrt{h}$，而 e,f,h 為同類的 n-1 階數，$f\neq0$，h>0。且非某 n-1 階數的平方數。我們假定 $n\geq1$，否則 x1 為有理數，而方程式就因有有理根而變成可約了。

將 x1 代入方程式中，經整理後得 $s+t\sqrt{h}=0$，其中

\begin{eqnarray*} s&=&a(e^3+3ef^2h)+b(e^2+f^2h)+ce+d\\ t&=&a(3e^2f+f^3h)+2bef+cf \end{eqnarray*}


由於 s,t 都是 n-1 階數，而 h 不是任何 n-1 階數的平方，所以由 $s+t\sqrt{h}=0$ 可得 s=t=0。若令 $x_2=e-f\sqrt{h}$，以之代入方程式則得 $s-t\sqrt{h}=0$。所以 x2 也是方程式的一根。今假定 x3 為方程式的第三根，則由根與係數的關係，得 $x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$，即 $x_3=-(x_1+x_2)-\frac{b}{a}=-2e-\frac{b}{a}$。則 x3 為 n-1 階數。此與對 n 之假定矛盾，故得定理。

一有理係數方程式若可約，則必有一次的有理係數因式，因此有一有理根。所以為了應用定理一，我們要知道一個有理係數多項式何時有有理根。關於此，我們從中學數學課本知有

定理二：一整係數多項式 $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0$ 若有有理根，則此有理根必為 $\frac{b_0}{a_0}$，其中 b0,bn 分別為 a0,an 的因子。

現在我們可以證明用直尺及圓規三等分任意角是不可能的。設 $\angle O$ 為 60°，則 $a=\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}$，所以相對應的方程式為 $\frac{1}{2}=4x^3-3x$ 或 8x3-6x-1=0。根據定理二，若此方程式有有理根，則此根必為 $\pm 1$， $\pm \frac{1}{2}$， $\pm \frac{1}{4}$， $\pm \frac{1}{8}$ 之一。但把這些數代入方程式知它們都不是根。所以原方程式沒有有理根，因此不可約，而根據定理一，則 x 為不可做。

不但 60°不能用直尺及圓規三等分，還有許許多多的角也不能。反之，有些特殊角是可以三等分的。譬如大家都知道直角是可以三等分的，此外 45°也可以三等分，因為 $a=\cos 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以方程式為 $\frac{\sqrt{2}}{2} = 4x^3-3x$（它不是有理係數方程式）。但此方程式的三根分別為 $-\frac{\sqrt{2}}{2}$， $\frac{\sqrt{2}}{4}(1\pm \sqrt{3})$，全是可做數。（事實上，x 為正，所以 $x=\frac{\sqrt{2}}{4}(1+\sqrt{3})$）。當然，我們可以先將 90°角三等分得 30°角，再把後者等分而得 15°角，此即 45°角的三分之一角。

   

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編輯：李渭天 ／ 繪圖：張琇惠 最後修改日期：2/17/2002