根據定理一、二，我們可以舉出許許多多不可用直尺及圓規三等分的角。不但如此，借用這兩個定理，我們可以輕易地證明倍立方一樣是不可能的。若原立方的邊長為 1，而 x 為所要的新立方的一邊，則 x³-2=0。由定理一、二可知這樣的 x 是不可做。

至於圓化方的問題就比較複雜。首先，我們有比定理一更廣泛的定理。

定理三：x 為可做的一個必要條件是 x 為某 2^m 次有理係數多項式的根。

我們不想在此證明這個定理。我們只舉一個特殊例子，希望讀者由此大約可以想見一般的情形是怎麼證的。譬如 個2階數。移項得 。平方得 。移項得 。平方得 ((x-1)²-2)²=3，整理得 x⁴-4x³+2x²+4x-2=0。所以x為一有理係數四次方程式的根。一般說來，若x是m階數．則x為一2^m次有理係數方程式的根。

設圓的半徑長為1，則其面積為圓周率 π。若能圓化方，設 x 為正方形的一邊，則 。若 x 可做，則它的平方 π 也可做，因此根據定理三，π 要為某 2^m 次有理係數多項式的根。自古以來，大家對於 π 是否為某一有理係數多項式的根的問題極感興趣。用現代的術語來說，一個有理係數多項式的根稱為代數數，否則為超越數。有理數是代數數；根據定理三，可做數都是代數數。那麼 π 是代數數嗎？1882年，德國數學家林德曼（F. Lindemann）證明了 π 不是代數數而是超越數，因此不可能是可做數。第三大難題也是不可解。

三大難題到1882年就全被證明為不可解了。百年之後還有人傻乎乎地要證其可解，能不令人搖頭嘆息？