三等分任意角可能嗎？ (第 3 頁)

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三等分任意角可能嗎？（第 3 頁）

曹亮吉

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．原載於科學月刊第九卷第四期
．作者當時任教於台大數學系
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違規解難題

例一：設 $\angle O$ 為給定的一角。以 O 為圓心，任意長 r 為半徑用圓規做圓，交 $\angle O$ 兩邊於 A,B（圖一）。不變圓規（即兩圓規腳之距離仍然保持 r 長），用兩圓規腳在直尺上刻劃兩點 C,D，則 CD 長為 r。用直尺，使 C 點保持在 BO 的延線上，D 點保持在圓上，調整直尺的位置，直到 A 點也在直尺上。做 $OE\parallel AC$ ，則 OE 為 $\angle AOB$ 的三等分線之一。

圖一

證明：聯 OD，則 CD=OD=OA=r，所以 $\angle C=\angle DOC$ , $\angle OAD=\angle ODA$ 。由「三角形一外角等於其兩內角和」的定理知 $\angle AOB=\angle C+\angle OAD$ $=\angle C+\angle ADO$ $=\angle C+\angle C+\angle DOC$ $=3\angle C$ $=3\angle EOE$ ，得證。

例一有什麼毛病？ $\angle EOB$ 確實等於三分之一 $\angle AOB$ ！但這種解法是違規的。原來所謂用直尺及圓規做圖是禁止在直尺上刻劃的。如果沒有這樣的規定，則三等分任意角，如例一所示，是可能的。

例二：設 $\angle O$ 為已知。以 O 為圓心，任意長 r 為半徑做弧交 $\angle O$ 兩邊於 A,B（圖二）。做 $\angle O$ 的平分線 OC。以 OC 為準線，B 為焦點做雙曲線 PQR 使曲線上任一點 R 到 B 的距離為到 OC 距離的兩倍。若雙曲線交弧於 Q，則 $\angle QOB = \frac{1}{3}\angle AOB$ 。

圖二

證明：聯 QB。做 $QD \perp QC$ 及 $OE \perp QB$ 。因 $\triangle QOB$ 為等腰三角形，所以 OE 平分 $\angle QOB$ ，也平分 QB，故得 $QD=\frac{1}{2}QB=QE$ ，因此 $\triangle DOQ\equiv\triangle QOE$ 。由此可知 $\angle DOQ=\angle QOE=\triangle EOB$ $=\frac{1}{3}\angle DOB$ $=\frac{1}{6}\angle AOB$ ，而得 $\angle QOB = \frac{1}{3}\angle AOB$ 。

例二有什麼毛病？毛病出在用了輔助線 PQR。如果只用直尺及圓規，雙曲線 PQR 是做不出來的。

例三：給定一角 $\angle AOB$ ，我們很容易把它二等分，四等分，八等分，……。做 $\angle C_1OB=\frac{1}{4}\angle AOB$ , $\angle C_2OC_1=\frac{1}{16}\angle AOB$ , $\angle C_3OC_2=\frac{1}{64}\angle AOB$ ,…, $\angle C_nOC_{n-1}=\frac{1}{4^n}\angle AOB$ ，最後OC_n。會趨近一條定直線 OC，則 $\angle COB=\frac{1}{3}\angle AOB$ 。（圖三）

圖三

證明：

$\begin{eqnarray*} \angle COB &=& \frac{1}{4}\angle AOB+\frac{1}{16}\angle AOB+\f... ...dot \frac{1}{1-\frac{1}{4}}) \angle AOB = \frac{1}{3}\angle AOB \end{eqnarray*}$

最後第二個等式由幾何級數的公式可得。例三又如何?理論上OC是存在的，但在有限步驟內是做不到的。幾何三大難題中所謂用直尺及圓規做圖是要求在有限步驟內完成的，所以例三又是個違規的例子。

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編輯：李渭天 ∕ 繪圖：張琇惠

最後修改日期：2/17/2002