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自然界的照妖鏡
傅氏分析法簡介
(第 8 頁)

林孝信

 


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.原載於科學月刊第一卷第二期
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傅氏分析

從計算anbn出發,數學家發現許多問題,這些問題刺激了十九世紀數學許多部門的發展(請參看曹亮吉文)。這塈畯斨略雲戔K切相關的兩個部門:泛函分析與向量空間。

我們知道,積分是求面積,求函數曲線到X軸間所圍成的面積。如果函數值愈大,積分的值便跟愈大。換句話說,積分值隨函數的大小而變化,亦即它是函數的「函數」(通常的函數,自變數是數,但在這堙A自變數不是一個一個數,而是函數本身,所以說是函數的「函數」)這門學問,叫做泛函分析 (Functional Analysis),在傅氏級數堙Aanbn都隨f(x)而變,都是函數的函數,我們便可體會到,它和泛函分析一定有密切關係。

再進一步討論,我們發現這種積分的「函數」,是線性的運算。亦即它滿足下列兩個條件:

\begin{eqnarray*}
\int kF(x)dx &=& k(\int F(x)dx) \\
\int (F(x)+G(x))dx &=& \int F(x)dx + \int G(x)dx
\end{eqnarray*}


所以,在傅氏係數中,如果f(x)的係數是anbn,那麼將f(x)乘上常數k倍,則kf(x)係數為:

\begin{displaymath}\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} kf(x)\sin nxdx=k(\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} f(x)\sin nxdx)=ka_n\end{displaymath}

亦即是kankbn。這種正比性質,我們到處可見。例如太陽斜照電線桿,電線桿愈長,影子也必愈長;如圖五所示:這種投影(Projection),便是正比關係,在數學上非常重要。一部解析幾何學是建基在座標上,而座標便需基於投影的方法,才能求得一點(或一個位置向量)在各座標軸上的分向量;如圖六所示:

\begin{displaymath}\overrightarrow{r}=x\widehat{i}+y\widehat{j}\end{displaymath}

x有如太陽在正上空垂直照射向量 $\overrightarrow{OP}$,所形成於地面(X軸)上的影子。



圖五



圖六

注意到了嗎?把一個函數展成傅氏級數,和把一點寫成座標(或分向量)完全類似,只不過傅氏級數的「分向量」(或「座標」)有無窮多個(即a0,a1,a2,$\cdots\cdots$,b1,b2,$\cdots\cdots$)而在平面卡氏座標上 ,分向量只有兩個(即xy)。至於$\sin nx$$\cos nx$,便相當於座標的單位向量 $\widehat{i}$$\widehat{j}$

所以展成傅氏級數,等於求一個向量在各座標軸的分向量。這樣,我們可以了解開頭所說的:傅氏分析與向量空間有密切關係。

還有,前面我們說過,傅氏照妖鏡,可以把疊加在一起的函數分開。怎麼分開呢?讀者現在可以猜到,所謂分開,便是展成傅氏級數,求傅氏係數。(此相當於將一向量分解,求其分向量。高三的讀者當已知道,向量的加法正滿足疊加原理。)這時分解後,所有分向量都是最簡單漂亮的正弦函數 $\sin nx$ 或餘弦函數 $\cos nx$ 的倍數。這種將一個複雜的週期函數分出簡單的部份($\sin$$\cos$),特別叫做諧和分析 (Harmonic Analysis),在聲學上,在音樂上,都有用途。

   

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編輯:陳文是 / 繪圖:簡立欣 最後修改日期:6/17/2002