自然界的照妖鏡 (第 5 頁)

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自然界的照妖鏡
傅氏分析法簡介（第 5 頁）

林孝信

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．原載於科學月刊第一卷第二期
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無窮的麻煩

但如把無窮多個函數加在一起呢?問題就很麻煩了。(其實，凡牽涉到無窮的玩意，都有麻煩及陷阱)。且不說是函數相加，就算單純的數字:無窮多個加起來後，性質便往往走樣。例如 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{4}$ ，……每個都是有限而且很小的(全小於1)，全部加起來卻是無窮大:

$\begin{displaymath} \frac{1}{2} +\frac{1}{3} +\frac{1}{4} +\cdots\cdots = \infty \end{displaymath}$

但如把 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{4}$ ， $\frac{1}{8}$ ， $\frac{1}{16}$ $\dots$ 加起來，便是有限的:

$\begin{displaymath} \frac{1}{2} +\frac{1}{4} +\frac{1}{8} +\cdots\cdots =1 \end{displaymath}$

又如最簡單的函數a_nxⁿ。(這種冪函數具有一切美德-連續，可微分，可積分等。而且，還可以直接算出其值來，其他的函數，例如次簡單的三角函數，除了特殊值外，通常都非查表不可。例如，請問讀者， $\sin 1=$ ?)若加上無窮成下式(叫做冪級數):

$\begin{displaymath} f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+ \cdots\cdots \end{displaymath}$

則許多美德便消失了。舉個特例，如令 $a_n=\frac{1}{n+1}$ ，則

$\begin{displaymath} f(x)=1+\frac{1}{2} x+\frac{1}{3} x^2+\frac{1}{4} x^3 + \cdots\cdots \end{displaymath}$

那麼

$\begin{displaymath} f(1)=1+\frac{1}{2} +\frac{1}{3} + \cdots\cdots =\infty \end{displaymath}$

根本就發散(Divergent)，不存在了，更別說到連續或積分，微分等性質了。然而，當|x| < 1時，f(x)便是有限值(叫做收斂Convergent)，而且連續，可微分，可積分。x=-1時也是收斂，可積分，但卻不能微分。由此可看出，加起來後在各點的性質都不一致。

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編輯：陳文是 ∕ 繪圖：簡立欣

最後修改日期：6/17/2002