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自然界的照妖鏡
傅氏分析法簡介
(第 10 頁)

林孝信

 


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.原載於科學月刊第一卷第二期
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怎麼辦呢?

且先檢討一下週期函數的意義。所謂週期函數,便是自變數x加大一個定數(此數即週期)a,其值不變。從幾何圖形看來,這就相當於將自變數平移了某一定值。倘不論平移多長,總不能回到原函數值,便是無週期性函數了。因此我們可以將無週期函數看作是週期是無窮大。

從這條思路發展下去,便可將一個無週期性的函數展開。在週期函數的情形,我們是將之展成無窮項的和。

現在如週期是無窮大,展成的項數會多得多--怎麼多法呢?在傅氏級數堙A每一項是 $a_n\sin nx$n 是 1,2,3,$\cdots\cdots$每個整數有一項,即n每加1才有一項。但在目前情形,n 是每增加一點點, 便有一項。這「一點點」是多小呢?它當然比 1 小,比 $\frac{1}{2}$$\frac{1}{3}$$\dots$等等都小,換言之,它比任何固定的有限數目都來得小,因此它的總和無法用級數寫下來。

那該如何寫下來?我們先看另一個類似的例子。我們知道,長方形的面積是底乘高。現如有無窮個長方形擺在一起:



我們照樣可將每個長方形面積算出,然後再全部加起來。在這堙A每個長方形的高度都不一樣,因此像個樓梯。如果底的大小變得非常小,小到比任何固定的有限正數都小時,那麼代表樓梯形狀的曲線便變成一條光滑的曲線。這時面積怎麼求呢?它就是積分。

因此,我們知道,對於非週期性的函數,它展成的和不再是級數而是積分(積分本就是和的一種極限):

\begin{displaymath}f(x)=\int_{-\infty}^{\infty} a_n(\cos nx+i\sin nx)dx\end{displaymath}

叫做將函數展成傅氏積分 (Fourier Integral),這塈畯戔N $\cos nx$$\sin nx$ 和虛數號寫在一起,是為了便於求傅氏係數:

\begin{displaymath}a_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(x)(\cos nx-i\sin nx)dx\end{displaymath}

注意:積分已改從$-\infty$$\infty$

因為 n 常代表自然數 (1,2,3,$\cdots\cdots$),故改用 p 字,而把 $a_n\rightarrow a_p=a(p)$,再把 a 寫作 g,或 $a(p)\rightarrow g(p)$,如果我們把 $\cos nx+i\sin nx$ 簡寫作 $e^{inx}\rightarrow e^{ipx}$,把 n 代以 -n,則 $\cos nx -i\sin nx$ $\rightarrow e^{-inx}$ $\rightarrow e^{-ipx}$,又把 $\sqrt{2\pi}$ 乘進 g(p),則我們便有對偶(dual)的式子:

\begin{eqnarray*}
f(x) &=& \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} g(p)e^{i...
... &=& \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-ipx}dx
\end{eqnarray*}


   

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編輯:陳文是 / 繪圖:簡立欣 最後修改日期:6/17/2002