自然界的照妖鏡 (第 13 頁)

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自然界的照妖鏡
傅氏分析法簡介（第 13 頁）

林孝信

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．原載於科學月刊第一卷第二期
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重回聲光世界

從「聲光之娛」出發，我們歷經電磁世界，微小世界以及抽象的數學世界。讓我們再鑽出來看看，開頭引起我們興趣的順耳悅目的問題。

我們已知道，聲和光都是波動。這些波用傅氏分析法分開，如果只是單純的 $\sin nx$ 或 $\cos nx$ ，便是單色光或單音。霓虹的各色都是單色光的，而悅耳的琴聲也多是由單音或單音頻率整數倍疊加起來。這些都較單純，而單純也許較美。從這些波的形狀看來，也都是較優美的曲線，音樂上古典和聲學上所謂諧和音，便是指兩個音波，如果波長成簡單整數比，便是諧和的；否則合成波奇形古怪，忽高忽低，便是不諧和了。

附錄：我們用到的積分知識

積分並不難，請中學讀者不用怕──尤其在目前情形下是特別容易。

積分是求面積，求函數曲線到 X 軸的面積。例如 $\sin x$ ：

圖十

則從 a 點到 b 點的那塊斜線的面積便寫作：

$\begin{displaymath}\int_a^b \sin xdx\end{displaymath}$

曲線如果在 X-軸下面（如 π 到 $2\pi$ ），函數值是負的，面積便也是小於零。

從圖形很顯然可看出，曲線上彎（0 到 π）及下彎（π 到 2π）情況相同。因此該兩部分的面積大小相同；但一正一負：

$\begin{displaymath}\int_{\pi}^{2\pi}\sin xdx=-\int_0^{\pi}\sin xdx\end{displaymath}$

如果我們求 0 到 $2\pi$ 的總面積，則正負相抵，等於0：

$\begin{displaymath}\int_0^{2\pi}\sin xdx=0\end{displaymath}$

同樣， $\cos x$ 以及 $\sin nx$ , $\cos nx$ 也都一樣（請讀者自行畫圖證明）：

$\begin{displaymath}\int_0^{2\pi}\cos xdx=0,\end{displaymath}$

$\begin{eqnarray*} & \int_0^{2\pi}\sin 2xdx=0, \; \int_0^{2\pi}\sin 3xdx=0, \cdot... ...}\cos 3xdx=0, \cdots, \; \int_0^{2\pi}\cos nxdx=0, \; n\neq 0 & \end{eqnarray*}$

有了這些，我們便可求傅氏係數 a_n 及 b_n 了。先求 a₀。將傅氏展開是左右兩邊各從 0 積分到 2π（即求 0 至 2π 的面積），便得下列式子：

$\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi} f(x)dx&=&\int_0^{2\pi} (\frac{a_0}{2} +a_1\sin x... ...a_1\sin xdx+\dots\\ &=&\frac{a_0}{2}\dot 2\pi+0+0+\dots=\pi a_0 \end{eqnarray*}$

所以

$\begin{displaymath}a_0=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} f(x)dx\end{displaymath}$

注意：這裡用上積分的兩個性質：

(1)

$\begin{eqnarray*} \int [f(x)+g(x)]dx &=& \int f(x)dx+\int g(x)dx \\ \int af(x)dx &=& a\int f(x)dx \end{eqnarray*}$

這正是線性，積分是線性運算。

(2) $\int_0^{2\pi} \frac{a_0}{2}dx=\frac{a_0}{2}\int_0^{2\pi} dx=\frac{a_0}{2}\cdot 2\pi=\pi a_0$

這很容易畫個圖求出。讀者試試看。

所以我們可以求出 a₀ 了。其他的呢？例如我們要算 a_m，便在展開是兩邊各乘以 $\sin (mx)$ ，然後再把每一項用三角恆等式化積為和或差：

$\begin{eqnarray*} \sin nx\sin mx &=& \frac{1}{2}[\cos (m-n)x-\cos (m+n)x] \\ \cos nx\sin mx &=& \frac{1}{2}[\sin (m+n)x+\sin (m-n)x] \end{eqnarray*}$

等等，都化成單項。所有這些，一經積分，便紛紛歸零，除非 n=m：

$\begin{displaymath}\int_0^{2\pi} \frac{1}{2} a_m\cos (m-m)xdx=\int_0^{2\pi}\frac{1}{2} a_mdx=\pi a_m\end{displaymath}$

所以 $\int_0^{2\pi} f(x)\sin mxdx=\pi a_m$ 便得出 $a_m=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} f(x)\sin mxdx$ 同法可求得： $b_m=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} f(x)\cos mxdx$ 這便是文中所使用的式子。

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編輯：陳文是 ∕ 繪圖：簡立欣

最後修改日期：6/17/2002