大學教程裡的「方程式論」是以 Galois 理論為主，高中數學的「方程式論」則是處理另外一些問題，如：

1. 代數基本定理：
任意的 n 次複數係數方程式恰有 n 個複數根。 （證明請參閱 L.V. Ahlfors,《Complex analysis》第二版, 122頁；或 P. Samuel《Algebraic theory of numbers》, 44頁。）

2. 根與係數的關係 ¹⁴ 。

3. 對稱式： x₁, x₂,…,x_n 的任意對稱多項式都可以表示成基本對稱式 ,…, 的多項式，其中

4. Cardano 公式與 Ferrari 公式

5. Lagrange 內插公式： 若 a₁,…,a_n 是相異 n 個數，b₁,…,b_n 是任意 n 個數，則存在唯一的 n-1 次多項式 f(x)，滿足 f(a_i)=b_i, i=1,2,…,n。 事實上 ¹⁵ ，

6. 行列式 (determinant) 與 結式 (resultant) ¹⁶ 。

7. 實係數方程式根的上、下界。

8. 秦九韶-Horner 近似根求法，Newton 近似根求法。 （請參考，《數學分析導引》上冊，241-244頁與245-247頁，凡異出版社出版。）

9. Descartes符號法則、Fourier-Budan 法則、Sturm 法則。 以下我們僅就 Sturm 法則做詳細討論。

問題：

(1) 方程式 x⁴+12x²+5x-9=0 有多少正實根？

(2) 更一般的，任給實係數方程式 ，任給 。試問 f(x)=0 在 [a,b] 有多少（實數）根？

在十七世紀，René Descrates（笛卡爾；1596∼1650）找到一個估計實數根數目的方法。J. Fourier（1768∼1830）早在1797年以前就找到一個更精確的估定方法，不過他只是把這個方法教給他的學生，並沒有把它寫成論文發表出來。1803年 Budan 獨立的發現同樣的方法 ¹⁷ 。 因此我們把這個方法叫做 Fourier-Budan 法則。

在介紹 Descrates 法則與 Fouier-Budan 法則之前，我們先定義變異數的概念。

有限數列 的符號依次是 + - - +。其中第一項與第二項的符號改變，第三項與第四項的符號也改變，我們就說的 變異數是 2。考慮另一個有限數列 {1,0,-2,-4,0,3}，我們先把零去掉，再考慮其變異數，因此這個數列的變異數是 2。

以方程式 x⁵-2x³-4x²+3=0 為例，取出其係數 {1,0,-2,-4,0,3}，其變異數是 2，因此其正根的數目（重根要計算其重數）是 2+2l，其中 l 是某個整數。同理，方程式 3x³-x-1=0，其係數的變異數是 1，所以正根的數目是 1+2l，其中 l 是某個整數。現在我們可以敘述 Descartes 符號法則如下：

Descartes 符號法則：
若實係數方程式 的正根數目（重根要計算其重數）是 N，而 v 是 的變異數，則 ，且 v-N 是一個偶數。

Fourier-Budan 法則比 Descartes 符號更能準確的估計實數根的數目。 以方程式 f(x)=x³-7x-7=0 為例，我們要估計 f(x)=0 在 (3,4) 之間根的數目(重根要計算其重數)。令 f⁽¹⁾(x) 是 f(x) 的一階導函數， f⁽²⁾(x) 是 f(x) 的二階導函數，f⁽³⁾(x) 是 f(x) 的三階導函數。 設 v₃ 是 { f(3),f⁽¹⁾(3),f⁽²⁾(3),f⁽³⁾(3)} 的變異數， v₄ 是 { f(4),f⁽¹⁾(4),f⁽²⁾(4),f⁽³⁾(4)} 的變異數， 故 v₃=1，v₄=0。詳細計算如下，

Fourier-Budan 法則說， 方程式 f(x)=0 在 (3,4) 之間根的數目是 v₃-v₄-2l=1-2l， 其中 l 是零或某個正整數；方程式 f(x)=0 在 (-2,-1) 之間有 v_-2-v_-1-2l=2-2l 個根，其中 l 是零或某個正整數； 方程式 f(x)=0 在 (-1,3) 之間有 v_-1-v₃-2l=-2l 根， 其 l 是零或某個正整數。把這個法則完整的敘述如下

Fourier-Budan 法則：
考慮 n 次的實係數方程式 f(x)=0，且 。令 v_a 是 的變異數， v_b 是 的變異數， N 是 f(x)=0 在 (a,b) 之間根的數目（重根要計算其重數），則 ，且 v_a-v_b 是一個偶數。

我們不準備證明 Descartes 符號法則與 Fourier-Rudan 法則。 這些證明並不困難，讀者可以自己做或參考，《數學分析導引》(上冊)，250-251頁，凡異出版社出版。

Charles Sturm（1803∼1855）是一個瑞士人，不過他很早就到巴黎定居。Sturm 在數學史上以研究物理數學的偏微分方程聞名，這就是所謂 Sturm-Liouville 理論。 據 Sturm 說，他在研究偏微分方程時，有許多靈感是來自他過去研究實係數方程式根的分布所累積的經驗。事實上他在1929年就提出 Sturm 法則，完全解決實係數方程式根的分布問題。Galois 在數學圈認識的朋友本來不多，而 Sturm 就是這少數人中的一個。據說，Galois 在知道 Sturm 法則的內容之後，他在幾分鐘內就給出一個證明。

以方程式 f(x)=x⁵+2x⁴-5x³+8x²-7x-3 為例。

我們想計算 f(x)=0 在 (1,3) 之間根的數目。 因為 f₅(x)=-1 是 f₀(x)=f(x) 與 f₁(x)=f'(x) 的最大公約式， 故 f(x)=0 沒有重根。注意， 。

令 v₁ 是 { f₀(1),f₁(1),f₂(1),f₃(1),f₄(1),f₅(1) } 的變異數， v₃ 是 { f₀(3),f₁(3),f₂(3), f₃(3),f₄(3),f₅(3) } 的變異數。 則 v₁=2，v₃=1。Sturm 法則說，f(x)=0 在 (1,3) 之間根的數目恰好是 v₁-v₃=1。所謂 Sturm 法則可以敘述如下：

Sturm 法則（簡單形式）：
令 f(x)=0 是沒有重根的 n 次實係數方程式， 且 。 我們要計算 f(x)=O 在 (a,b) 之間根的個數。 定義

令 v_a 與 v_b 各為 與 的變異數。 則 ，且 f(x)=0 在 (a,b) 之間根的數目恰好是 v_a-v_b。

Sturm 法則（一般形式）：
令 f(x)=0 是任意 n 次實係數方程式，且 。 定義

令 … ， 且 v_a 與 v_b 各為 與 { g₀(b),g₁(b),…,g_s(b)} 的變異數。 則 ，且 f(x)=0 在 (a,b) 之間根的數目恰好是 v_a-v_b（重根只計算一次）。

我們現在要證明簡單形式的 Sturm 法則。至於一般形式的 Sturm 法則的證明，讀者不妨自己做做看，或參考 N. Jacobson,《Basic Algebra I》, 295-299頁。先注意以下兩件事，

(1) 若 ，則 α 不可能是 f_i(x)=f_i+1(x)=0 的公解，其中 i=0,1,…,s-1。

因為，設 ，則 ， 同理 。 故 α 是 f(x)=f'(x)=0 的公解，這與 f(x)=0 沒有重根的假設違反。

(2) 若 ，其中 ， 則

因為 。

我們開始證明 Sturm 法則。

第一步驟：
讓 x 由 a 變化到 b，考慮 f_i(x) 的符號變化的情形， 。注意，f_s(x) 是 f(x) 與 f'(x) 的公因式； 因 f(x)=0 沒有重根，故 f_s(x) 恆為常數。

假設 f_i(x) 由 的左邊到右邊變了符號，則 （勘根定理）。設 是足夠小的正數，則 f_i-1,f_i,f_i+1 的符號變化不出以下四種情形：

說明：由於 f_i(x) 在 變號，故 ，， 的符號是 或 。因為 ，利用注意事項(1)與(2)， 可知 ， 的符號是 或 。 因為 ，與 。都足夠靠近 α， 故 ， 的符號與 一致； 同理， ， 的符號也和 一致。

由上表可知， { f_i-1(x),f_i(x),f_i+1(x)} 的變異數恆為 1， 不管 x 是 ，或 。

第二步驟：
讓 x 由 a 變化到 b，考慮 f₀(x) 的符號變化的情形。

因為 f(x)=0 只有單根，如果 α 是 f(x)=0 的根，則 ， 其中 。因此 g(x) 在 附近不改變符號（勘根定理）。 所以 f(x) 在 附近一定要改變符號。同時，因為，α 是單根， 故 ，可知 f_i(x)=f'(x) 在 附近不改變符號。 這些觀察結果可歸納如下：

但是第一（左上）與第四（右下）表是不可能發生：因為，在第一表中， f₁(x) = f'(x) >0，故 f₀(x)=f(x) 是增加函數，可知 是不可能的。

因此， { f₀(x),f₁(x) } 的變異數，在 時比 恰好多 1。也就是，每通過一個 f(x)=0 的根，變異數就少 1。

綜合第一與第二步驟，可知 ，且 v_a - v_b 恰好是 f(x)=0 在 (a,b) 之間根的個數。 ¹⁸