方程式求解問題 (第 7 頁)

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方程式求解問題（第 7 頁）

康明昌

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．原載於數學傳播第八卷第四期、第九卷第一期
．作者當時任教於台大數學系

‧註釋
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七、Galois 理論的影響

由於 Liouville 的鼓吹，數學家開始認識 Galois 理論的重要性。對於大部分數學家，Galois 的論文是非常深奧而難以瞭解的。 J.A. Serret 的《高等代數教程》(Cours d'algébre supérieure, 1849) 與 G. Salmon 的《近世高等代數》(Modern Higher Algebra, 1859) 是十九世紀後半期最流行的兩本高等代數課本。 Serret 的書主要的目的是討論方程式論，Salmon 的書主要目的是介紹不變量理論 (Invariant theory)。在 Serret 書的第一版並沒有 Galois 理論，1866年 Serret 的書三版發行，才加入 Galois 理論，Galois 理論從此廣泛的為數學家理解。

即使如此，群論 (group theory) 是通過 Galois 理論的重要關頭。對許多人而言，「群」的概念是相當抽象的。1870年 Camille Jordan（1838～1922）寫了一本書，《置換論》(Traité des substitutions et des équations algébriques)，討論置換與 Galois 理論。群論的研究因此普及起來。群的概念進入數學研究的許多領域，成為近世數學研究的新面貌之一。

Galois 理論促進群論與各種變換群的研究，Galois 理論本身又孕涵許多近世抽象代數的基本概念。以下我們將簡單的敘述這些發展。

7.1 群論 (group theory)

早在1815年 Cauchy 就寫了一篇有關置換群的論文，但是他的結果並不十分深刻。真正討論群論的第一篇論文是Galois寄給Poisson，審查的那篇文章。

把置換群的概念加以推廣，就得到群的概念。一個群 G 是一個具有一個運算 $\circ$ 的集合：對於任意兩個元素 $g,h \in G$ ， $g \circ h$ 也是 G 的一個元素，並且滿足以下性質。

: (1)(結合律) $(g \circ h)\circ k =g \circ (h \circ k)$ ，g,h,k 是任意元素。
: (2)(單位元素) 存在一個元素 e，使得 $e \circ g$ $= g \circ e =g$ ，g 是任意元素。
: (3)(反元素) 對於任意元素 g，存在 $h \in G$ ，使得 $g \circ h = h \circ g=e$ 。

例如，整數在加法的運算之下成為一個群，整數在乘法的運算之下不是一個群，置換群是一個群，空間的剛體運動也形成一個群。

研究各種群的結構及其表現理論 (representation theory) 是非常重要的數學分枝。1980年數學家終於能夠把有限單純群加以分類。這是群論研究的一個極重要的突破。

本世紀二十年代，群被拓樸學家拿來做描述拓樸不變量的工具，這就是同調群 (homology group)，上同調群 (cohomology group) 與同倫群 (homotopy group)。

7.2 Lie 群與 Erlangen 綱領 (Lie groups and Erlangen program)

1870年，當 Jordan 完成他的「置換論」不久，有兩個外國學生來到巴黎。一個是德國人 Felix Klein（1849～1925），一個是挪威人 Sophus Lie（1842～1899）。他們立刻成為好朋友，他們也立刻認識到「群」的重要性。

Lie 想用類似 Galois 的方法去研究微分方程式，結果他得到 Lie 群 (Lie groups)。所謂 Lie 群，是一種連續的變換群(continuous transformation group)。 Lie 一生研究這種群的結構與其不變量。Lie 群在微分幾何學、量子力學、常微分方程式與偏微分方程式的研究都扮演非常重要的角色。

Klein 把「群」的概念應用到線性微分方程式與 Abel 函數的研究。他提出一個構想，他認為，不同的幾何學其實只是不同的變換群的不變量的研究。例如，歐氏幾何是研究距量群 (metric groups) 的不變量，射影幾何是研究射影群 (projective groups) 的不變量。這就是 Klein 有名的 Erlangen 綱領 (Erlangen program)。 ¹³

7.3 類體論 (class field theory)

David Hilbert（1862～1943）把 Galois 群的概念引入代數數論的研究。 Galois 群作用於代數整數環的質理想。這就是 Hilbert 的分歧理論 (ramification theory)。

在 Hilbert 之前，L. Kronecker（1823～1891）與 H. Weber（1842～1913）對於 Galois 群與代數數論的關係已有相當的認識。所謂的 Kronecker-Weber 定理證明，有理數 Q 的任意 Abel 擴張體都是某一個 $\mathbf{Q}(\zeta_n)$ 的子體。其中 $\zeta_n = \cos{\frac{2\pi}{n}} + \sqrt{-1}\sin{\frac{2\pi}{n}}$ 。 Weber 對於類體 (class field) 更有相當深刻的認識。 Hilbert 把類體的研究提到一個更高的地位。Hilbert 的第12問題就是討論類體 Abel 多樣體 (abelian variety) 與自守函數 (automorphic function) 的相互關係。

7.4 近世抽象代數 (modern abstract algebra)

Galois 除了創造了群論之外，近世抽象代數裏面「體」(field) 的概念在 Galois 的論文也可略見雛形，他甚至還創造了有限體 (finite field)，並且討論有限體上的射影線性群 (projective linear groups over finite fields)。

事實上十九世紀後半期的許多有名的代數學家都在 Galois 理論下過功夫，並且得益不少。意大利數學家 E. Betti 在1851年就開始研究 Galois 理論。 C. Jordan 研究 Galois 理論的結果是更深入的瞭解線性群 (general linear groups)。 L. Kronecker 與 R. Dedekind 介紹 Galois 理論時，引入「體」的概念； H. Weber 證明更多的「群」與「體」的重要性質。

此外 Galois 的思考方式也促進抽象代數的誕生。Galois 非常反對盲目的冗長的計算，他認為，只有掌握關鍵性的概念才能得到簡潔的證明，也才能洞見那些複雜的計算過程的由來。這正是日後的 P.G.L Dirichlet（1805～1859）與 R. Dedekind（1831～1916）所一再強調的。抽象代數的創始人 Emmy Noether（1882～1936）與 Emil Artin（1898～1962）就是從這裏吸取養料的。

7.5 其他

Galois 理論的方法論對於數學家是一個很好的啟示。拓撲學家研究覆蓋面 (covering spaces) 與基礎群 (fundamental groups) 的關係，其結果正好和子體與 Galois 群的關係相彷彿。Liouville 用 Galois 的手法研究微分方程式，這個方向成為線性代數群 (linear algebraic groups) 的一個來源。

此外，還有不少有名的問題與 Galois 理論有密切的關係，如 Hilbert 關於任意有限群是否都可以變成任意代數數體的 Galois 群 (I.R. Shafarevich, 1954)，Noether 關於有理函數體的不變體是否仍為有理函數體 (R.G. Swan, 1969)。

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編輯：朱安強

最後修改日期：4/26/2002