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方程式求解問題 (第 6 頁)

康明昌

 

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.原載於數學傳播第八卷第四期、第九卷第一期
.作者當時任教於台大數學系

註釋
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六、Galois 的生平

1832年5月30日早晨,在巴黎的一家公寓附近的池塘旁邊,一個農夫發現了一個決鬥受傷的青年 Galois。Galois 立刻被送到醫院急救。第二天他就死了。如果再活幾個月,到了10月25日,他正好滿二十一歲。

不滿二十一歲的 Galois,創造了 Galois 理論,解決了方程式根式解的問題, 是群論 (group theory) 的真正的締造者。他的成就在生前並沒受到賞識, 直到1843年9月 J. Liouville(1809∼1882)才在巴黎科學院公開表揚 Galois 的研究成果,而他的論文在1846年才出版。Galois 傳奇性的一生成為某些數學傳記作者渲染的對象 10 。他的故事甚至曾經拍了一部電影。

Évarite Galois(1811∼1832)生於巴黎郊區。 1823年進入預科學校,1827年2月開始選修數學課程。但是他很快的對這些教材感到厭煩, 自己去尋找數學名家的原著。他唸了 Legendre 的幾何教本與 Lagrange 的主要著作, 如討論 Lagrange 預解式的論文,Lagrange 的微積分與解析函數論的講義。1828年他開始研究方程式論,數論與橢圓函數論。1829年3月出版第一篇論文,討論循環連分數的性質。

中學老師如何評量一個天才學生的學習績效呢?一個數學老師說, 這個學生聰明,進步很快,但是沒有夠多的方法。另一個數學老師立刻發現他的才能, 另一個老師甚至說 Galois 絕對有資格免試進入工藝學校 (École Polytechnique) 就讀。工藝學校是當時法國最好的大學。

1829年當時還未滿十八歲的 Galois 完成第一篇方程式論的論文。 他將論文寄到巴黎科學院,A.L. Cauchy(1789∼1857)是這篇論文的審查委員。 根據檔案資料,Cauchy 本來預備在1830年1月18日在科學院宣讀這篇論文, 但是當天他生病了,因而把宣讀論文的時間延後。此後 Cauchy 就沒有宣讀這篇論文。 不過,Galois 很快的把這篇論文改寫,在1830年2月底以前寄到科學院, 做為科學院數學大獎的應徵論文。 11

這次數學大獎的審查委員是 S.F. Lacroix、S.D. Poisson、A.M. Legendre 與 L. Poinsot。 科學院的秘書是 J. Fourier,因此 Galois 把論文寄給 Fourier。但是這篇論文丟掉了,Fourier 又在這年4月死掉,他的檔案也找不到這篇文章,因此無從知道這篇論文如何遺失的。1830年6月這個數學大獎頒給已故的 N.H. Abel(1802∼1829)與年輕的 C.G.J. Jacobi(1804∼1851)。

接二連三的打擊其實早已來臨。1829年7月初 Galois 的父親在政敵的打擊下自殺;他是一個自由主義者。幾天之後,他在工藝學校的入學考試名落孫山, 這已是第二次的落第。退而求其次,Galois 只好在1829年9月到師範學校就讀( École Normale Supérieure,當時叫做 École Préparatoire)。

1830年的7月革命捲走了許多年輕人,Galois 卻沒有被吞噬, 因為師範學校的校長把學生鎖在學校堶情C但是這卻激怒了 Galois。 據推測,Galois 在這期間,開始和激烈的共和派份子接觸,如人民之友社的人, 國民防衛砲兵隊的人。12月初師範學校的校長與學生的衝突昇級,Galois 寫了一封公開信攻擊校長,結果他被師範學校開除。

被開除的 Galois 索性加入國民防衛砲兵隊。就在這段期間,由於 Poisson 的建議, 他在1831年1月17日寫了一篇論文寄到科學院。〈Mémoire sur la résolution des équations algébriques〉Galois 在方程式論的主要創見都寫在這篇論文。事後證明,巴黎科學院的院士看不懂這篇論文。

1831年5月9日,將近兩百多個共和派人士歡宴十九個被釋放的國民防衛砲兵隊的軍官。 根據著名小說家大仲馬 (Dumas) 的回憶。

「我正和鄰座的朋友聊天的時候,突然聽到「路易菲力」(當時法國國王)的名字。 接著是五、六聲噓聲。我轉遇身來。離我十五到二十個座位的地方有一幕景象吸引我的注意。

一個年輕人高舉酒杯,並拿著一把匕首。他叫 Évariste Galois。 他是一個狂熱的共和主義者。

我認為,這是一個威脅,並且「路易菲力」的名字被叫出來。 他的意圖從亮出來的刀子不難瞭解。」

第二天他就被捕了。關了五個禮拜,六月十五日才被釋放。

1831年7月4日 Galois 收到巴黎科學院的回信。 Poisson 審查的結果說:「我們努力去瞭解 Galois 先生的證明。許多推論並不夠清楚, 也沒有寫得讓別人能夠判斷其嚴密性。我們實在不瞭解這篇論文。 原作者聲稱,這篇論文只是一個豐富的理論的一部份。通常,把一個理論完整的寫出來, 其每一部份會彼此印證,這個理論也比較容易理解。因此,除非原作者把他的全部研究成果寫出來,我們實在不能對這篇論文做出一個明確的決定。」簡單的說, 巴黎科學院沒有接受 Galois 的論文。

從今天的眼光來看,Poisson 講的是實話。二十世紀的數學家 J. Dieudonné 曾表示(1962),Galois 強調觀念性的證明 (le caractére conceptuel des mathématiques), 他厭惡掩蓋關鍵性想法的冗長的計算 (les longs Calculs masquant les ideés directrices),這正是近世數學的風格。對於這種風格,十九世紀大部分的數學家是非常陌生。尤其是專攻數學物理的 Poisson 12

可是 Galois 認為這是另一種形式的政治迫害,是聽命於國王的科學院的院士們對他的迫害。更巧的是,Poisson,如同 Cauchy,是王朝政府的忠實支持者。

1831年7月14日是巴士底節日(Bastille Day,即日後的法國大革命紀念日,復辟王朝當然不會紀念大革命)。Galois 和另一個朋友全副武裝的穿著國民防衛砲兵隊的制服在逛街。 當天他們就被逮捕。直到1832年4月29日才被釋放。

釋放後,他談了一次戀愛,5月30日和人決鬥。他就死在決鬥的次日。Galois 究竟愛上什麼樣的女郎,他究竟跟誰決鬥,為何決鬥,到目前為止,並沒有明確的答案。通俗的數學傳記作者喜歡加油添醋,把這次決鬥與這位神秘女郎,和法國王朝政府的特務扯上關係。 事實上,足以支持這種說法的證據是非常脆弱的。Galois 似乎預感到這是致命的決鬥。在決鬥前夜,他寫一封信給他的朋友 A. Chevalier,簡述他的研究成果,方程式論與 Abel 積分理論。他並且在他的幾篇論文做些註釋與訂正的工作。

如果這封信講的話完全可以信賴,那麼 Galois 不僅創造了 Galois 理論與群論,他還證明了 Abel 積分的許多重要的結果。B. Riemann(1826∼1866)在25年後才發現這些結果。

Galois 要求 Chevalier,把這封信登在《Revue encyclopédique》,並且「請求 Jacobi 或 Gauss 公開表示他們的意見,不要管這些定理的真實性,而是這些定理的重要性」。

Galois 死後,這封信如他所要求的登出來了。可是沒有任何反應。 Jacobi 或 Gauss 也沒有表示什麼意見。1843年9月4日 Liouville 才在巴黎科學院公開宣揚 Galois 的研究成果,那篇寄給 Poisson 審查的論文連同一篇殘缺的論文登在1846年 Liouville 主編的雜誌,《Journal de mathématiques pures et appliquées》。Galois 的不朽的貢獻和他在數學史的地位從此完全確定。

   

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編輯:朱安強 最後修改日期:4/26/2002