本節的目的是介紹 Galois 理論及其應用。本節的定理來自 Galois 的論文 〈Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux〉（1831年1月17日）與 Galois 給友人的信〈Lettre à Auguste Chevalier〉（1832年5月29日）。大部分的定理都沒有證明，因為我們不想寫一本 Galois 理論的課本，我們的目是介紹 Galois 理論的精神。有興趣的讀者不妨參考以下兩本書：H.M. Edwards,《Galois theory》與 E. Artin,《Galois theory》。在 Artin 的書，體的擴張與體的自同構群是 Galois 理論的核心，學生幾乎看不到有人在解方程式，預解式與預解形也消失了；這是一本典型的近世代數的課本，用近世代數的手法來介紹 Galois 理論。

令 G 是一個置換群，H 是其子集合，且 H 不是空集合。如果任取 ，而 恆落在 H 之內，則H叫做 G 的子群 (subgroup)。顯然 H 也是一個置換群。

若 H 是置換群 G 的子群，任取 ，定義 ， 。 請注意，在大部分情況， 。但是 有同樣多的元素。

定義：若 H 是置換群 G 的子群。H 是 G 的一個正則子群 (normal subgroup)，如果以下條件成立：任取 ， 恆成立。

若 S 是一個集合，我們用 |S| 表示 S 中元素的總數。若 H 是 G 的子群，[G:H] 代表 。

Lagrange 定理： 若 H 是置換群 G 的子群，則 [G:H] 是一個整數。

證明：很明顯， 。 沒有這麼明顯的是，若 ，則 或 。（請讀者自己證明。）

因此， ，並且 ，如果 。 注意， 。因此， 。

請讀者回憶一下，在本文4.3小節我們是怎樣定義 Galois 群。令方程式 的根是 ,…,。取一個 Galois 預解形 θ，考慮 ，其中 , ，且 f₁(x) 是不可約的。則方程式 對於 K₀ 的 Galois 群 。

如果 K 是 K₀ 的某個擴張體，那麼原來方程式對於 K₀ 的 Galois 群與對於 K 的 Galois 群會不會一樣呢？

注意，若 ，f₁(x) 是 K₀[x] 的不可約多項式，但是 f₁(x) 在 K[x] 之內很可能是可以分解的。例如，x²+1 在 Q[x] 是不可約，x²+1 在 卻能分解。

令 ，其中 ， 且 g₁(x) 在 K[x] 是不可約的。考慮

定理1： 令方程式 的係數都在體 K 之內，p 是一個質數，且 。 假設 ， ，並且 G 是方程式 對於 K 的 Galois 群。H 是方程式 對於 L 的 Galois 群。則，G=H，或 H 是 G 的正則子群且 [G:H]=p。

以上定理的逆敘述，其實是正確的。即，

定理2： 令方程式 的係數都在體 K 之內，p 是一個質數，且 。 若 G 是方程式 對於 K 的 Galois 群， H 是 G 的正則子群且 [G:H]=p。 則存在一個數 u， ，且 H 是方程式 對於K(u) 的 Galois 群。

定理1 與定理2 告訴我們，陸續的把 x^m=a 的根加入體 K（這些根都有根式解！），很可能把方程式 對於 K 的 Galois 群化簡為 ，其中 G_i 是 G_i-1 的正則子群，[G_i-1:G_i] 是質數，G_s 只含有一個排列。事實上這個推測剛好是 Galois 研究方程式有根式解的答案。他的結果是，

定理3： 令方程式 f(x)=0 的係數都在體 K 之內，G 是方程式 的 Galois 群。 則 有根式解的充分必要條件是，可以找到置換群 ，其中 G_i 是 G_i-1 的正則子群，[G_i-1:G_i] 是質數，且 G_s 只含有一個排列。

根據4.1的討論，我們把根式解的問題轉變成體的結構（某些體有那些特殊形式的子體）的問題。由定理 1，我們又可把體的結構的問題轉變成群的問題。這就是定理 3 的精神。

如果方程式 沒有根式解，定理 3 就沒有用了，我們也不能瞭解體 的結構 （,…, 是 的根）。事實上，Galois 探討體 的更深入的性質。在 Galois 的探討中，體 的性質與 Galois 群 G 的性質更加密切。這就是我們在下一小節所要討論的 Galois 理論。

令不可約方程式 的根為 ,…, 是包含 的一個體， ，G 是方程式 對於 K₀ 的 Galois 群。

若 H 是 G 的任意子群，定義 是 H 的任意元素。} 若 M 是 K 的任意子體，且 ，定義 是 M 的任意元素 }

定理 4：（Galois 理論的基本定理）

(1) K^G=K₀。

(2) 介於 K₀ 與 K 之間的所有的體恰與 G 的所有子群成一對一的對應。 也就是說，如果 M 是一個體，且 ，則 M 一定是 K^H 的形式， 其中 H 是 G 的某個（唯一確定的）子群。反過來說，如果 H 是 G 的任意子群，則 H 一定是 G(K/M) 的形式，其中 M 是 K 的某個子體。

(3) 若 H 是 G 的正則子群，則 K^H 一定可以寫成 的形式， 其中 ,…, 是某個方程 的所有的根， 。 反過來說，如果 ，且 ,…, 是 的所有的根，則 ，是 G 的正則子群。

由定理4，再配合定理1與定理2，很容易證出定理3。

定理4 的第(3)部分告訴我們，Lagrange 或其他人所努力尋找的各種預解形 （如果有的話），全都是由 Galois 群的正則子群所決定。

定理4 告訴我們的還不止如此。以前的數學家只想知道 是否只要把足夠多的開方根加入 K₀ 就能得到。他們的目的，對 Galois 來說，只是一個大計劃的一個小項目。Galois 要探討 的複雜程度； 他證明， 的複雜度恰好由 Galois 群 G 的複雜程度表現出來。 一個群 G 如果有一連串的子群 ， 其中 |G₀|,|G₁|, …, |G_m| 是逐次減小且 |G_i| 是 |G_i-1| 的正則子群，這個群 G 看起來就比較容易處理。 一個不可交換群 G，如果除了 G 本身和單位元素之外， 沒有其他的正則子群，這種群就不太容易處理；Galois 聲稱，這種群至少要有60個元素。 ⁹ 從表面上，把體的結構的問題轉變成置換群的問題，似乎把問題簡化了，因為置換群頂多只有有限個元素，只有有限多種子群。事實上，的確有一些問題從體的角度考慮是非常困難，從置換群的角度來觀察卻是不難理解的。

利用定理4，Galois 可以證明以下的定理。

定理5： 若 p 是一個質數， 是不可約多項式，,,…, 是 的根。

(1) 方程式 有根式解的充分必要條件是 ,,…, ， 其中 i₁,i₂ 是 任意相異的兩個數。

(2) 若 有根式解，則我們把 ,…, 適當排列之後， ，其中 σ 是 Galois 群的任意元素， r 與 s 是隨 σ 改變的整數， , 。 （如果 ，則 表示 ，其中 q 是 ri+s 除以 p 的餘數。）

定理6： 五次一般方程式沒有根式解。因此，五次以上的一般方程式也沒有根式解。

證明：由定理5的第(2)部分可知，如果 有根式解， 其 Galois 群的元素可以由 (r0xA141s) 決定， 。 因此 Galois 群頂多只有 (p-1)p 個元素。

五次一般方程式如果有根式解，其 Galois 群頂多只有 個元素。 但是由4.3小節的例子可知，五次一般方程式的 Galois 群是 S₅，有 5!=120 個元素。因此五次一般方程式沒有根式解。

若 n>5，如果 n 次一般方程式有根式解，則任意 n 次方程式都有根式解。因此 x^n-5(x⁵+a₁x⁴+a₂x³+a₃x²+a₄x+a₅)=0 也有根式解。 但是 x⁵+a₁x⁴+a₂x³+a₃x²+a₄x+a₅=0 是五次一般方程式，沒有根式解。

定理6 是 N.H. Abel 在1826年首先證明的。有了這個定理之後，我們不妨如此說， 方程式根式解的領域已沒有多少有意義的問題值得研究。不管我們用如何巧妙的方法導出三次或四次方程式根的公式，在數學上的意義是微乎其微。

Galois 理論的意義至少有兩個。第一，如果把體的結構的問題比做一座高山， 從某個角度來看（體的角度）簡直是懸崖峭壁，無處攀援，從置換群的角度來看， 山窮水盡之餘卻是柳暗花明的世界。這種處理數學問題的手法，以後一再的被數學家借鏡。 第二，Galois 理論開創了群論 (group theory) 的研究。 並且 Galois 的經驗告訴數學家，研究某個數學結構（集合、群、環、體、向量空間、拓樸空間、微分流型）的變換群 (transformation group)，經常有助於瞭解這個數學結構， 這就是表現理論 (representation theorey) 何以如此重要的原因。

Nicholas Bourbaki 是二十世紀許多第一流數學家的團體的代稱，他們寫了許多書，其作者都冠以 Bourbaki 的名字。Bourbaki 的《Algebre》(代數學)自然也介紹 Galois 理論。 Bourbaki 認為，Galois 理論是極重要的數學工具，是從事高深數學研究的人必須具備的基礎知識； Galois 理論之中，最重要的是 Galois 理論的基本定理(定理4)， 而所謂根式解的充分必要條件(定理3)只不過是 Galois 理論的一個習題罷了。 至於五次一般方程式無根式解(定理6)這個定理，在 Bourbaki 的書中根本沒有出現的資格， 因為 Bourbaki 認為那已經是一個死的問題！Bourbaki 的論斷是明睿，還是偏頗， 那倒是值得我們好好的想想看了。