方程式求解問題（註釋）

康明昌

註釋

這本書的名字叫《Hisáb al-Jabr wál-Muqàbalah》，其中 al-Jabr 是「移項」的意思，wál-Muqàbalah 是「消去（同類項）」的意思。因此這本書叫做《移項與消去的科學》。後來 wál-Muqàbalah 逐漸被遺忘，而 al-Jabr 卻變成了 Algebra，這就是拉丁文的 algebra（代數）。

...²

請注意這兩個三次方根的取法，我們要求取這兩個三次方根，使其乘積為 $-\frac{q}{3}$ 。

...³

三次方程式的根的公式是威尼斯的數學教授 Tartaglia（意為「口吃者」，原名 Niccolo Fontanna，1500～1557年）發現的。他告訴米蘭大學的醫學教授 Girolamo Cardano（1501～1576年）。Cardano 在1542年出版《大術》(Ars Magna)，公開了 Tartaglia 的方法，並且聲明這是 Tartaglia 發現的，後世卻稱為 Cardano 公式。Lodovico Ferrari（1522～1565年）是 Cardano 的學生。

...⁴

請參考本文第三節

...⁵

有些作者不區分「預解形」與「預解式」，統稱為 resolvent。我們為了說明方便，特加以區分。

...⁶

請注意，在定義 t₁ 時，我們把 $\frac{x^{11}-1}{x-1}=0$ 的十個根作如下的排列。 $\zeta,\zeta^2,\zeta^8,\zeta^5,\zeta^{10}$ $,\zeta^9,\zeta^7,\zeta^3,\zeta^6$ 。原因是 2 是 (Z/11Z)^x 的素根 (primitive root)。在任意質數 p 時，我們也可取 (Z/pZ)^x 的素根，然後定義 t₁,t₂,…,t_p-1。如果具備近世代數的知識，可以證明 $\mathbf{Q}(\zeta_p)$ 與 $\mathbf{Q}(\zeta_{p-1})$ 是線性分離 (linearly disjoint)。由此可證明

$\begin{displaymath} t_1^p,t_2^p, \cdots, (t_{p-1})^p, t_2 \cdot t_1^{p-2}, t_3\cdot t_1^{p-3}, \cdots, t_{p-1}\cdot t_1 \end{displaymath}$

都是 $\mathbf{Q}(\zeta_{p-1})$ 的元素（利用 Galois 群的作用）。讀者如果學過 Galois 理論，不妨證明 x^p-1=0 對於有理數體的 Galois 群是 (Z/pZ)^x，因此方程式 $\zeta^p-1=0$ 有根式解。

...⁷

讀者如果不十分瞭解這句話，請接受一件事實： $\mathbf{Q}(x_1,\cdots,x_n)$ 可以看做複數體的子體，就可以順利的看完本文。有關體與超越數，請參考：古希臘幾何三大問題，第2節與第4節。

...⁸

用這種方式介紹排列 $\sigma = \pmatrix{ 1 & 2 & 3 \cr 2 & 3 & 1 \cr }$ 之後，我們就把 σ 看成 1,2,3 的排列，而不再強調 σ 是 $\alpha_1$ , $\alpha_2$ , $\alpha_3$ 的排列。如果 $\alpha_1$ , $\alpha_2$ , $\alpha_3$ 是相異三個數，那麼 1,2,3 排列與 $\alpha_1$ , $\alpha_2$ , $\alpha_3$ 的排列並沒有什麼區別。如果 $\alpha_1 = \alpha_2$ ，強調 σ 是 $\alpha_1$ , $\alpha_2$ , $\alpha_3$ 的排列，在說明排列 σ 時，就不免有些困擾。如果從開始就假設方程式 x³+qx-r=0 是不可約，則 $\alpha_1$ , $\alpha_2$ , $\alpha_3$ 自然是相異的。

...⁹

群 G 是不可交換群，如果 $\sigma \cdot \tau =\tau \cdot \sigma$ 在 G 之內並不恆成立。

...¹⁰

E.T. Bell 的書，《Men of Mathematics》，把 Galois 描寫得像傳奇小說中的英雄。參考資料4.與5.對此有非常權威性的考證。Bell 這本書寫得通俗有趣，但是充滿不少錯誤和偏見。

...¹¹

根據參考資料[5]，Taton 推測，Cauchy 可能認為這篇論文有資格競爭數學大獎，因此他沒有在科學院下個會期宣讀它，並且勸 Galois 把它加以改寫，好投到科學院應徵。

...¹²

即使這樣的替 Poisson 設身處境的辯護，難道當時巴黎科學院找不到一個人能夠看懂這篇論文嗎？事實上，巴黎科學院似乎沒有能力賞識真正有才能的數學家。在 Galois 之前，Abel 也被科學院忽略過。當時巴黎科學院的院士們的研究態度，Abel 曾經這樣描述：「每個人只關心自己的問題，毫不留意別人的研究成果。大家只想講，卻沒有人願意聽。」像射影幾何的開山祖師 V. Poncelet 在當時（復辟時期）也無法出頭。

...¹³

請參考，古希臘幾何三大問題，第5.4.節。

...¹⁴

這是法國數學家 Francois Viéte（1540～1603）發現的。

...¹⁵

習題，請讀者利用 Lagrange 內插公式或部分分式分解，證明以下的 Euler 公式。若 a₁,a₂,…,a_n 是相異 n 個數，則

$\begin{displaymath} \sum_{i=1}^{n}\frac{a_i^m}{\prod_{i=1}(a_i-a_j)} =\left\{ \b... ...2}\fontseries{m}\selectfont \char 74}}m=n-1 \end{array}\right. \end{displaymath}$

...¹⁶

G.W. Leibniz 在1693年定義行列式，E. Bezout 在1764年建立線性聯立方程式的理論。十八世紀的數學家，如 G. Cramer、L. Euler、P.S. Laplace，已經會運用行列式。但是許多行列式的基本定理都是 A.L. Cauchy 做出來的。然而，最早使用行列式的（1683年），卻是日本數學家關孝和（Seki Takakazu, 1642?～1708）。關孝和除了發現行列式之外，他還發現連分數、某些 Diophantus 方程式的解、求極大極小值、多項式的微分與判別式、Newton 近似根求法、Bernoulli 數、Pappus-Guldin 定理。

...¹⁷

Ferdinand Francois Désiré Budan de Boislaurent（生卒年不詳，約活動於1800～1853）是法國的一個醫生。數學只是他的業餘興趣。據近代的數學史家 Judith V. Grabiner 指出，以一個業餘數學家 Budan 仍然能夠發現一個正確的定理，顯示在十九世紀初期，沒有受過科班訓練的業餘數學家還能對數學研究有所貢獻；可是這種情形很快就改觀了，職業數學家幾乎獨占所有的數學研究的成果，並且，除了二十世紀印度的天才數學家 Srinivasa Ramanujan（1887～1920）之外，沒有受過正統訓練的人也很難證明一個好定理。

...¹⁸

以上證明的書寫形式曾參考黃敏晃等人編著的「高中數學教本」第六冊（數理出版公司）。

...¹⁹

R(f,g) 是 xf,f,x²g,xg,g 的係數行列式。若 R(f0xA141g)=0，則這些「列向量」是線性相依，故存在不全為零的係數 B₀,B₁,A₀,A₁,A₂，滿足 B₀ xf+B₁f+A₀x²g+A₁xg+A₂g=0，故 (B₀ x + B₁)f = -(A₀ x² + A₁ x + A₂)g。如果 $\deg{} f=3$ 且 $\deg{} g=2$ ，則 f 與 g 不可能互質。

...²⁰

為了讀者的方便，以下是幾個關鍵性的歷史年代：靖康之難1127年，金朝於1115～1234年在中國北方立國，忽必烈即位1260年，蒙古兵攻陷臨安1276年。

...²¹

清朝李銳曾討論正負根的數目。

最後修改時間: 4/26/2002　