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割圓術始末 (第 6 頁)

洪萬生

 


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.原載於數學傳播第三卷第二期
.作者當時任教於師大數學系

註釋
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劉徽的極限概念

戰國末年,名家公孫龍曾經提出一個很有趣的命題:

一人之棰,日取其半,萬世不竭。

意思是說:一尺長的棍子,每天折掉二分之一,則歷經千年萬載也折不完。如果把每天所折掉的部份加起來,那就是

\begin{displaymath}
\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots + \frac{1}{2^n}
+ \cdots,
\end{displaymath}

恰好是「和」為1的一個無窮級數。對應的數學問題也就是:一個有限長的線段(一尺)可以用無限多個線段的和來表現。劉徽在割圓術中所做的論證:「割之又割,以至於不可割」,想必多少繼承了名家對「無限分割可能」的信仰;他在計算弧田(弓形)面積、開方不盡 註8 及求解楔形體積 註9 時,都應用到了極限的概念, 足見我們的看法是正確的。底下,我們引用了一段「注文」來支持我們上述的論斷。

《九章算術》方田章的第36題敘述弧田(弓形)面積的算法,提出下列的公式:

以弦乘矢,矢又自乘,並之,二而一。



圖四

就是說(如圖四), 弓形面積 $A=\frac{1}{2}(V_0 C_0+V_0^2)$,其中 C0 為弦,V0 為矢。 劉徽說這個公式「指驗半圓之冪耳,若不滿半圓者,益復疏闊。」意即在 π=3(九章算術的圓率)的情形下,A 是半圓的面積;若針對一般的弓形,則 A 的公式就更顯得粗陋了。因此,劉徽先用「以弧弦折半自乘,矢除之,加矢以為圓徑」 註10 ,把圓(直)徑的值求出來。「既知圓徑,則弧可割分也。割之者半弧田之弦,以為股,其矢為句,為之求弦,即小弧之弦也。以半小弧之弦為句,半圓徑為弦,為之求股,以減半徑,其餘即小弦之矢也。割之又割,使至極細,但舉弦矢相乘之數,則必近密率矣。」

在圖四。BC=C0, DF=V0;由 V0C0/2 可求得 BD=C1,又由 C1/2 及半徑 r 可以求得 $EG=\sqrt{r^2-(C_1/2)^2}$,依此類推,可以求得 C2, V2, …, 故

\begin{eqnarray*}
\mbox{{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 32}\hs...
...
&=&\frac{1}{2}(C_0V_0+2C_1V_1+4C_2V_2+\cdots+2^nC_nV_n+\cdots)
\end{eqnarray*}


基於劉徽確曾認識了「無窮分割」的內涵這個事實,他作為一個積分學的先驅者是當之無愧的。可惜,劉徽沒有能把面積計算出來(這個問題或許很難,而現代的求法在中國古代大概也從沒有人觸及),否則他在求積問題上的成就應當是可以逼近阿基米德的。

   

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編輯:李渭天 / 校對:陳文是 最後修改日期:5/31/2002