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割圓術始末 (第 2 頁)

洪萬生

 


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.原載於數學傳播第三卷第二期
.作者當時任教於師大數學系

註釋
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劉歆的嘉量斛

《周髀算經》、《九章算術》、《周禮考工記》這三部中國最古老的科技作品都取 π=3 的近似值,這個粗陋的圓周率也是其他文明古國埃及。 巴比倫所通用的數值,雖然他們個別地求到了 3.1604 和 3.125 的近似值。π=3放在當時的工藝技術的環境堙A確實發揮了它的簡便和好用。在中國,π=3 的使用持續了好幾個世紀之久,直到劉歆的出現才打破這種沈寂的局面。

西元9年,劉歆(?∼23 A.D.)為王莽製作嘉量斛(標準量器),使用了 π=3.154。這一個銅斛,現藏於故宮博物院內,上面刻有銘文:「律嘉量斛,方尺而圜其外,庣旁九釐五毫,冥(按即冪)百六十二寸(按即方寸),深(一)尺,積千六百二十寸(按即立方寸),容十斗。」東周末年以後,度量衡制一片紊亂:王莽新朝重新製造標準器頒行天下,中國度量衡制度乃得以再歸統一局面。劉歆為王莽鑄造的嘉量斛,就是模仿周禮嘉量[鬲甫]造的。銘文中所謂的「內方尺而圜(圓)其外」,並非指其內為正方形,實際上是先定每邊一尺正方的形狀。然後由此正方形,再畫一個外接圓,這才是真正的嘉量斛內容的形式。因為在周朝時代。圓徑、圓周、圓面積還沒有精確的推算方法,故由方形起度而加以推算。又由於技術上的限制,正方形的頂點與外接圓不能完全密合(圖一),「不足」之處就稱為庣旁 註1



圖一

按王莽銅斛:

\begin{displaymath}
\begin{eqalign}
\mbox{{\fontfamily{cwM29}\fontseries{m}\sele...
...amily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 247}},
\end{eqalign}\end{displaymath}

已知容積 = 10寸 × π (7.166068)2 方寸 = 1620 立方寸,故可推算得劉歆的圓率應該是 3.1547。

劉歆是怎樣算出來的?沒有人知道,不過,根據史籍的記載,我們可以認定劉歆確是中國數學史上研求圓周率的第一人。

西元130年,漢朝天文學家張衡(78∼139 A.D.)比較立方形與其內切直圓柱及球的體積,得到 註2

\begin{displaymath}
\frac{\mbox{{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \cha...
...}\selectfont \char 9}}} =
\sqrt{\frac{25}{64}} = \frac{5}{8}
\end{displaymath}

可知他必然選取了 $\pi=\sqrt{10}$ 的近似值。

西元255年(三國時代),吳國王蕃(219∼257 A.D.)求得 $\pi=142/45=3.1555$。他怎麼求出來的,我們也找不到任何資料;不過他的數學成就在同時代劉徽的耀眼光芒下變得黯然失色。

   

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編輯:李渭天 / 校對:陳文是 最後修改日期:5/31/2002