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割圓術始末 (第 3 頁)

洪萬生

 


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.原載於數學傳播第三卷第二期
.作者當時任教於師大數學系

註釋
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劉徽的割圓術

劉徽創立了割圓術,給出了「割圓」的一般法則,後世的割圓家可能在 π 的近似值上估計得比他精密,但若論及創始的功勞,則他的地位是無人可以替代的。

劉徽是魏人,經歷可能延長到晉朝,這是史家根據《隋書》記載的「魏陳留王景元四年(263 A.D.)劉徽注九章」的文句推斷出來的。除此之外,我們對他的身世一無所知。晉朝算學博士王孝通(《緝古算經》的作者)稱讚他「思極毫芒」,推許他的著作「一時獨步」。他那極富原創性的《九章算術注》(附於現傳本的《九章算術》內),及《重差術》(即現傳的《海島算經》)二部著作,的確是他不朽聲名的最佳註腳。

劉徽的割圓術記載在九章算術第一卷方田章的第32題關於圓面積計算的注文堙C我們把它歸納為下列幾點來加以說明。

一、劉徽首先指出利用 π=3 這一數值算得的結果不是圓面積,而是圓內接正十二邊形的面積,這個結果比 π 的真值少。

二、他由圓內接正六邊形算起,逐漸把邊數加倍,算出正12邊形、正24邊形、正48邊形、正96邊形……的面積,這些面積會逐漸地接近圓面積。

三、已知正6邊形一邊(恰與半徑等長,清朝戴震校勘算經時,曾經補上一個證明圖,詳見《九章算術》),即求得正12邊形邊長,……。由正12邊形求正24邊形一邊之長時,劉徽反覆地應用到句股定理(或稱商高、畢氏定理),如圖二:



圖二


\begin{eqnarray*}
&& OA = OB = OC = r(\mbox{{\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\sel...
... \; l_{4n}=([r-\sqrt{r^2-(l_{2n}/2)^2}]^2 + (l_{2n}/2)^2)^{1/2}
\end{eqnarray*}


為了印證我們上述的解說,在此我們特別摘錄了劉徽的注文 註3
「割六觚以為十二觚,術曰:置圓徑二尺,半之為一尺,即圓嵫啎妣惜]。令半徑一尺為弦,半面五寸為句,為之求股。以句冪二十五寸減弦冪,餘七十五寸,開方除之下至秒忽,又一退法,求其微數。微數無名,知以為分子,以下為分母,約作五分忽之二,故得股八寸六分六釐二秒五忽五分忽之二。以減半徑,餘一寸三分三釐九毫七秒四忽五分忽之三,謂之小句。觚之半面,又謂之小股,為之求弦。其冪二千六百七十九億四千九百一十九萬三千四百四十五忽,餘忽棄之。開方除之,節十二觚之一面也。」

按著,我們再加入圖解(希望不是添足)如圖三,



圖三

100方寸 - 25方寸 = 75方寸,

\begin{displaymath}
\begin{eqalign}
\sqrt{75} \mbox{{\fontfamily{cwM0}\fontserie...
...tfamily{cwM5}\fontseries{m}\selectfont \char 31}}
\end{eqalign}\end{displaymath}

(最後這個近似值原注文沒有給出,是我們另加上去的。)

劉徽的注文中還有割12邊為24邊,割24邊為48邊,割48邊為96邊,及割96邊為192邊,此處不贅,有興趣的讀者請自行去查閱。

四、有了正 2n 邊形的邊長 l2n,則按《九章算術》中的「半周、半徑相乘」公式,可以算出正 4n 邊形的面積,為:

\begin{displaymath}
S_{4n}=r\cdot\frac{2n\cdot l_{2n}}{2}=2n\cdot\frac{r\cdot l_{2n}}{2} .
\end{displaymath}

由於 $r\cdot l_{2n}$ 恰好是四邊形 ABCD 的面積(見圖二),所以上述的論斷是正確的,

劉徽算出

\begin{displaymath}
S_{96}=3.13+\frac{584}{62500} \; , \; S_{192}=3.14+\frac{64}{62500}
\end{displaymath}

又稱 S192-S96=105/62500 為差冪,它的兩倍 210/62500 稱為正96邊形的外弧田,即

\begin{displaymath}2(S_{192}-S_{96})=\frac{210}{62500}\end{displaymath}


\begin{eqnarray*}
S_{96}+\frac{210}{62500}&=&3.13+\frac{584}{62500}+\frac{210}{62500}\\
&=&3.13+\frac{794}{62500}\\
&=&3.14+\frac{169}{62500}
\end{eqnarray*}


這樣的面積已經「出圓之表(超出圓面積)」了,顯然圓冪(面積)S 滿足:

\begin{eqnarray*}
& & 3.14+\frac{64}{62500} = S_{192}< S < S_{96}+\frac{210}{62...
...ow & S_{192}<S<S_{96}+2(S_{192}-S_{96})=S_{192}+(S_{192}-S_{96})
\end{eqnarray*}


這堛 S192=3.14+64/62500=3.14+0.001024=3.141024,相當於求得的 π 值為 3.141024。請注意:在半徑為一單位長的情形下,圓面積和半圓周長的度量是相等的(都是 π)。劉徽在此處顯然引用了這個事實。但他並沒有特別指明。

五、劉徽並不認為 S192 是終結,他表示還可以像這樣一直「割」下去。《九章算術》注文明白寫著:「割之彌細,所失彌少;割之又割,以至於不可割,則與圓周,體而無所失矣。」這段注文充分說明了劉徽對極限概念,已經具有了相當程度的認識了。對一般的自然數 n 而言,

\begin{eqnarray*}
&& S_{2n}<S<S_n+2(S_{2n}-S_n)=S_{2n}+(S_{2n}-S_n) \\
& \Rightarrow & 0<S-S_{2n}<S_{2n}-S_n
\end{eqnarray*}


根據三角學的理論,很容易求得

\begin{displaymath}
S_{2n}=\frac{1}{2}(2n\sin\frac{2\pi}{2n}) \; , \quad
S_n=\frac{1}{2}(n\sin\frac{2\pi}{n}),
\end{displaymath}


\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow\infty}(S_{2n}-S_n) & = & \lim_{n\rightarrow...
...ot\frac{\sin\frac{2\pi}{n}}{\frac{2\pi}{n}} \\
& = & \pi-\pi=0
\end{eqnarray*}


$\lim_{n\rightarrow\infty}S_{2n}=S$(割之又割,以至於不可割,則與圓周合體而無所失矣。)

後來。劉徽果然繼續割到3072邊,得到 $\pi=3.14159$ 註4

3.14+169/62500 (=3.142704) 較西元前阿基米德使用正 96 邊形求得的 23/7 (=3.1428) 差強人意一點,而 3.14159 則較西元150年托勒密公認的 3.141666 要好得太多了。

用正多邊形逐漸增加邊數的方法來計算圓周率,在西元前200年左右,早為阿基米德(287?∼212 B.C.)率先採用。但阿氏同時採用內接和外切兩種入算 註5 ,不如劉徽僅用內接,比較簡便多了。由此可知,

「割圓術」是中土獨創的,決非西方傳入的。

   

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編輯:李渭天 / 校對:陳文是 最後修改日期:5/31/2002