割圓術始末 (註釋)

洪萬生

 
註釋

...註1
這裡主要參考吳洛著的《中國度量衡史》(商務,民國64年6月臺三版)。關於王莽嘉量斛的內容形式,李約瑟認為:「這個標準的量器,是由銅製的圓柱中,挖空成一個立方形的穴」(詳附錄(5)),與吳書所說不同。 筆者前往臺北故宮博物院查證,赫然發現了一具新(朝)嘉量,正是劉歆所造,與吳書中附圖亦同。顯然,李約瑟誤解了「(內)方尺而圓其外」這一句話。
...註2
張衡得出的這個公式,記載在《九章》卷四少廣章的最後一題注文內。可惜遍查劉徽注文,筆者就是不知道他是憑什麼算出 $\sqrt{10}$ 的,但 $\sqrt{10}$ 這個數卻迭經史書轉述,筆者不才(願讀者高明有以教我),只得「史云」亦云一番了。
...註3
參見戴震校《算經十書》上冊(商務,民國六十三年臺一版)第七十七頁,這一部書由於印刷技術的故意疏忽,使得讀者必須配合放大鏡來點閱;眼力較差的讀者宜參閱同是商務出版的「叢書集成簡編第427號」的《九章算術》版本,後面這一部書印得清晰易辨,但卻有些小錯誤,而且也不容易買到。
...註4
劉徽注文予載明「當求一千五百三十六觚之一面,得三千七百二觚之冪」,沒有給出這個值。π=3.14159 錢寶琮據劉徽的文意推算出來的,詳附錄(二)。
...註5
詳見 C.B. Boyer,《A History of Mathematics》, John Wiley & Sons Inc., New York, 1968。(臺灣曾翻印過)
...註6
請參閱拙文「中國π的一頁滄桑」,登於科學月刊第八卷第五期,民國66年5月出版;接著敘述到的定理詳見《數論導引》,先登出版社。
...註7
參看附錄(一),或《疇人傳彙編上》(世界書局)中的趙友欽傅。
...註8
見《九章》少廣章第16題的注文。
...註9
見《九章》商功章第15題的注文。
...註10
如圖四,即圓徑

\begin{displaymath}2r=\frac{(C_0/2)^2}{V_0}+V_0\end{displaymath}

這是完全正確的求法。考慮直角三角形 OFC,OC=r,OF=r-V0,CF=C0/2,由商高定理,

\begin{displaymath}r^2=(\frac{C_0}{2})^2+(r-V_0)^2
\Rightarrow 2rV_0=V_0^2+(\frac{C_0}{2})^2
\Rightarrow 2r=\frac{(C_0/2)^2}{V_0}+V_0\end{displaymath}

...註11
參見 M. Kline 著的《Mathematical Thought from Ancient to Modern Times》, New York, Oxford University Press, 1972(臺灣有翻印,九章出版社),或黃武雄的〈人怎樣求得面積?〉(數學傳播第二卷第二期,66年10月出版)。
...註12
載於附錄(六)。
   


最後修改時間: 5/31/2002