割圓術始末 (第 4 頁)

　1│2│3│4│5│6│7│8　

割圓術始末（第 4 頁）

洪萬生

首頁 | 搜尋

．原載於數學傳播第三卷第二期
．作者當時任教於師大數學系

‧註釋
‧對外搜尋關鍵字

不朽的 3.141592

這時候，中國人不但趕上了希臘，而且到了五世紀時，祖沖之、祖[日恒]父子的計算更是一躍向前，領先了世界數學界千餘年。祖沖之的成就記載在《隋書》卷十六，《律曆志》卷十一內（唐代長孫無忌所編撰）：

「……宋末南徐州從事史祖沖之更開密法，以圓徑一億為一丈（按即以一丈為直徑，把它分成一億份），圓周盈數三丈一尺四寸一分五釐九毫二秒七忽；朒數三丈一尺四寸一分五釐九毫二秒六忽，正數在盈朒二限之間。密率：圓徑一百一十三，圓周三百五十五，約率：圓徑七，周二十二。又設開差冪，開差立，兼以正圓參之，指要精密，算氏之最者也。所著之書名，為《綴術》，學官莫能深究其深奧，是故廢而不理。」

根據這一段「正史」，祖沖之的估計當是 3.1415926 < π < 3.1415927，恰好準確到小數點第六位數；另外他還求出兩個 π 值：約率 = 22/7（與阿基米德同），密率 = 355/113。後面這個密率，日本數學史家三上義夫 (Y. Mikami) 曾建議稱之為「祖率」，是一個很特出的分數。按照連分數的漸近分數理論 ^註6 ，它是分母不大113的所有分數中，最接近π的數；也就是說：給出任意分數a/b（既約形式）， $b\leq113$ ，則

$\begin{displaymath}\vert\frac{a}{b}-\pi\vert\geq\vert\frac{355}{113}-\pi\vert\end{displaymath}$

至於祖沖之是怎算出這一結果的，因《隋書》記述過於簡略，無法詳知。根據史家研究，除了「割圓術」以外，祖沖之恐怕還沒有發現什麼新方法。事實上，照劉徽的方法繼續做下去，算到正 24576（ = 6 x 2¹²）邊形時，便可算得這一結果。假使這個論斷是正確的話，那麼祖沖之所付出去的勞力必定是非常可觀的。

　1│2│3│4│5│6│7│8　


	（若有指正、疑問……，可以在此留言或寫信給我們。）

EpisteMath (c) 2000 中央研究院數學所、台大數學系
各網頁文章內容之著作權為原著作人所有

編輯：李渭天 ∕ 校對：陳文是

最後修改日期：5/31/2002