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割圓術始末 (第 4 頁)

洪萬生

 


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.原載於數學傳播第三卷第二期
.作者當時任教於師大數學系

註釋
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不朽的 3.141592

這時候,中國人不但趕上了希臘,而且到了五世紀時,祖沖之、祖[日焱父子的計算更是一躍向前,領先了世界數學界千餘年。祖沖之的成就記載在《隋書》卷十六,《律曆志》卷十一內(唐代長孫無忌所編撰):

「……宋末南徐州從事史祖沖之更開密法,以圓徑一億為一丈(按即以一丈為直徑,把它分成一億份),圓周盈數三丈一尺四寸一分五釐九毫二秒七忽;朒數三丈一尺四寸一分五釐九毫二秒六忽,正數在盈朒二限之間。密率:圓徑一百一十三,圓周三百五十五,約率:圓徑七,周二十二。又設開差冪,開差立,兼以正圓參之,指要精密,算氏之最者也。所著之書名,為《綴術》,學官莫能深究其深奧,是故廢而不理。」

根據這一段「正史」,祖沖之的估計當是 3.1415926 < π < 3.1415927,恰好準確到小數點第六位數;另外他還求出兩個 π 值:約率 = 22/7(與阿基米德同),密率 = 355/113。後面這個密率,日本數學史家三上義夫 (Y. Mikami) 曾建議稱之為「祖率」,是一個很特出的分數。按照連分數的漸近分數理論 註6 ,它是分母不大113的所有分數中,最接近π的數;也就是說:給出任意分數a/b(既約形式),$b\leq113$,則

\begin{displaymath}\vert\frac{a}{b}-\pi\vert\geq\vert\frac{355}{113}-\pi\vert\end{displaymath}

至於祖沖之是怎算出這一結果的,因《隋書》記述過於簡略,無法詳知。根據史家研究,除了「割圓術」以外,祖沖之恐怕還沒有發現什麼新方法。事實上,照劉徽的方法繼續做下去,算到正 24576( = 6 x 212)邊形時,便可算得這一結果。假使這個論斷是正確的話,那麼祖沖之所付出去的勞力必定是非常可觀的。

   

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編輯:李渭天 / 校對:陳文是 最後修改日期:5/31/2002