Archimedes(阿基米德)論面積 (第 9 頁) 康明昌
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.原載於數學傳播第六卷第一期 .作者當時任教於台大數學系 •註釋 •對外搜尋關鍵字 |
阿:做過這些例子之後,你們大概已經能夠抓住「窮盡法」的要領了吧。你們願意證明:「兩圓面積的比是其半徑的平方」這件事嗎?
王:Archimedes 先生,讓我試試。首先我想說明:圓內接正多邊形可以「窮盡」圓的面積。如圖,首先我們從圓內接正方形 AC 出發,
做圓內接正八邊形
。設 。
同理,可證明
因此,利用「Archimedes性質」註15
,對於任一個幾何量 α,都存在一個正整數 n,滿足
現在假設半徑 r1 與 r2 的圓面積分別是 A1 與 A2, 我們想證明 。 假設
取一個半徑是 r' 的圓,面積是 A',並且
因為 ,所以 A2 > A'。
取一個圓內接正 n 邊形在半徑 r2 之圓內,使其面積與圓面積之差不超過 A2 - A'。設此正 n 邊形面積為 P2。我們得到,
0< A2 - P2 < A2 -A'.
因此,
A'< P2 < A2
利用這個 n,在半徑為 r1 的圓內也造個內接正 n 邊形。設其面積為 P1,非常容易可以知道,
所以,
因為P1<A1,所以P2<A'。 但是我們早已得到 A' < P2 < A2 矛盾。 同理,可證明 也是不可能的。
阿:完全正確。我相信你們現在已經知道我怎樣得到我最先提到的定理:
至於它的嚴格證明,我最近會寫在一本叫做《論球體與圓柱體》的小冊子。我的朋友 Dositheus 會收到這本小冊子的。 註16 這個定理的嚴格證明實在非常巧妙。我很希望我死後,在我的墓碑上刻上這個定理。 王:這真是一個別出心裁的墓碑! 使:說老實話,我還是搞不懂你怎麼得到那個定理的。拜託你再多指點指點。 阿:何必非要我剝奪你發現真理的樂趣呢? (談話結束。) 註17
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編輯:康明軒 / 校對:鄧惠文 / 繪圖:張琇惠 | 最後修改日期:4/26/2002 |