Archimedes（阿基米德）論面積 (第 8 頁)

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Archimedes（阿基米德）論面積（第 8 頁）

康明昌

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．原載於數學傳播第六卷第一期
．作者當時任教於台大數學系

‧註釋
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拋物線的面積（第三個方法）

阿：（轉向使者）為了回答你的責難，我現在要提出一個無懈可擊的方法。請看右圖。P 與 Q 是拋物線 x=y² 上的任意兩點。請問斜線部份的面積是多少？我們要證明，如果 M 是 PQ 的中點，MR 平行於拋物線的對稱軸，則斜線部份面積 $= \frac{4}{3} \cdot \triangle PQR$ 的面積。

我們仍然先考慮拋物線的一個性質。看圖1，P,Q為拋物線上任意兩點，M 是 PQ 的中點，RM 平行於拋物線的對稱軸，RP' 是通過 R 點的切點， $PP' /\!/ QQ' /\!/ MR$ 。和以前一樣，如果我們像 Apollonius 一樣聰明 ^註12 ，那麼我們就可以斷言 $P'Q' /\!/ PQ$ 。所以， $\triangle PQR$ 面積 $= \frac{1}{2}$ 平行四邊形 PQ' 的面積。

圖一

圖二

但是平行四邊形 PQ' 面積 > 拋物線 PQR 面積。

結論： $\triangle PQR$ 面積 $> \frac{1}{2}$ 拋物線 PQR 面積。

現在，再看圖2， P 與 Q 仍然是拋物線上任意兩點，M 是 PQ 中點，RM 平行於對稱軸。在 PQ 與 QR 如法泡製。也就是，M₁ 是 PR 的中點，M₁' 是 QR 的中點。

$\begin{displaymath}R_1M_1 /\!/ R_1'M_1' /\!/ RM\end{displaymath}$

通過 R 點作一線平行 PQ。這條直線也是通過 R 點的切線。通過 P , Q 各作直線平行 RM。由相似形關係 ^註13 ，可得

$\begin{displaymath} R_1M_1=\frac{1}{4}RM -R_1'M_1' \quad , \quad \triangle PR_... ...inus0.1pt{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 9}} \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \triangle PRR_1\mbox{\hskip 1.2pt plus0.4pt minus0.2pt{\font... ...nus0.1pt{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 9}}, \end{displaymath}$

設 $\alpha =\triangle PQR$ 面積，β =拋物線面積，那麼假設 A₁ 是第一步驟的三角形面積，A₂ 是第二步驟的三角形面積， $A_2 = \triangle PRR_1' + \triangle QRR_1'$ ；以下類推。
則 $A_1 = \alpha , A_2 = \frac{\alpha}{4} , \cdots \cdots , A_n = \frac{\alpha}{4^{n-1}}$ ，並且

$\begin{eqnarray*} & A_1 > \frac{1}{2}\beta , \; A_2 > \frac{1}{2}(\beta - A_1), \\ & A_n > \frac{1}{2}(\beta -A_1-A_2 \cdots \cdots - A_{n-1}), \end{eqnarray*}$

整理起來是，再利用「Eudoxus（或Archimedes）性質」，

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{eqalign} (1) & \alpha > \frac{1}{2} \beta ,\f... ...4}- \cdots - \frac{\alpha}{4^N} < \gamma \end{eqalign}\right. \end{displaymath}$

現在我們要證明 $\beta = \frac{4}{3} \cdot \alpha$ 。 ^註14

由等比級數公式可知， $\alpha + \frac{\alpha}{4} + \cdots + \frac{\alpha}{4^n}$ $= \frac{4}{3} \alpha - \frac{1}{3 \cdot 4^n}\alpha$ 如果 $\beta > \frac{4}{3} \alpha$ ，取一個正整數 N，使得

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{eqalign} & \frac{1}{3 \cdot 4^N}\alpha < \fra... ... < \frac{1}{2}(\beta - \frac{4}{3}\alpha) \end{eqalign}\right. \end{displaymath}$

由第一個關係，可得

$\begin{displaymath}\frac{4}{3} \alpha -\alpha - \frac{\alpha}{4} - \cdots - \fra... ...}{3 \cdot 4^N} \alpha < \frac{1}{2}(\beta- \frac{4}{3}\alpha ) \end{displaymath}$

因此，可得

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{eqalign} & \alpha + \frac{\alpha}{4} + \cdots... ...c{\alpha}{4} + \cdots +\frac{\alpha}{4^N} \end{eqalign}\right. \end{displaymath}$

所以，

$\begin{displaymath}\beta - \frac{4}{3}\alpha < 2 \cdot \frac{1}{2}(\beta - \frac{4}{3}\alpha)!\end{displaymath}$

矛盾。

同理可證 $\beta < \frac{4}{3} \alpha$ 也是不可能的。

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編輯：康明軒 ∕ 校對：鄧惠文 ∕ 繪圖：張琇惠

最後修改日期：4/26/2002