使:Archimedes先生,這次讓我來做。,
過 A 點做拋物線的切線 AE 。
取 AP = PC。
我知道 EO = FO,這是Apollonius告訴我的註2,因為 EO = FO,E 與 D 的座標很容易求出:
E(-4,0),
D(-120xA141-2)。現在設 M 在線段 AB 上任意移動,
。K,L 的座標也可求出:K (2y,y) , L (4y-4,y)。
因此
註3,
如果我們讓 M 在 AB 之上運動,把所有的 NM 的長度湊起來,我們就得到拋物線的面積,把所有的 LM 的長度湊起來,我們得到 的面積。
現在因為
,我們把 AC 看成一根槓桿,P 看成支點,把線段 LM 留在原來的地方,把線段 NM 搬到 C 的位置,我們就得到一個平衡狀態。
所以,我們得到:在槓桿 AC 上面,C 點放一個小鉛球,其質量是 ,其中 α 是拋物線面積,ρ 是均勻物質的密度;在支點的另一側,仍然放著三角形 還是會保持平衡狀態。
但是 的重心是其三個中線的交點,這個重心恰好是線段 PA 上距離 P 點為 的位置。因此,槓桿另一側可以想成,在這個重心位置,也放個小鉛球,質量是
,β 是 面積。所以
而 PC = PA,因此
但是,所以
。這就是斜線部分的面積。