Archimedes(阿基米德)論面積 (第 6 頁) 康明昌
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.原載於數學傳播第六卷第一期 .作者當時任教於台大數學系 •註釋 •對外搜尋關鍵字 |
阿:我還有一個方法可以計算拋物線的面積。在說明這個方法之前,我先敘述一個拋物線的性質。假設有一個拋物線(如圖一)。如果 A 與 P 是拋物線上的任意兩點,D 是 AP 上的任意點,AB 與 DE 都是平行於拋物線對稱軸的直線,PC 是通過 P 點的切線,則
![]() (轉向使者)這個性質你大概聽 Apollonius 講過吧。
使:是的 註4 。
阿:假設這個性質。我要說明我的第二個求面積的方法。假設有一個拋物線 y=x2-4x(如圖二),如何求拋物線 AQ1P 之間的面積呢?設 BP 是通過 P 點的切線,AB 平行於拋物線的對稱軸。
設 n 是任意正整數,現在把線段 AP 作 n 等分,其分點分別是
![]() 請注意,梯形 Qn-1Pn 與梯形 Rn-1Pn 其實是三角形。
要證明這些關係,我們只要把 x 軸想成是一根槓桿,A 點是支點。
現在在 C 點掛上 n 個小鉛球,第一個小鉛球和梯形 B0 P1 平衡,
第二個和梯形 B1 P2平衡,第 k 個小鉛球和梯形 Bk-1 Pk,平衡。
那麼在 C 點這些小鉛球就和
但是
另一方面,由相似形關係,我們知道
![]() 同理,對於 ![]() ![]() 因此,我們如果在 Pk 掛上一個質量為 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
很顯然,這時候槓桿右側的質量比在 AP 上擺上 ![]() 同理,可證明 ![]() 設 ![]() ![]()
注意,梯形 Qn-1Qn 其實是
![]() 所以S1,S2, ![]() ![]() 因此 PS1, ![]() ![]() ![]() 我現在把我們得到的結果總結一下,因為 β 與 γ 是把 AP 作 n 等分之後才得來的,所以我們把 β 寫作 ![]() ![]() ![]() (轉向使者)你知道 Eudoxus 的「窮盡法」中有一種方法,可以從以上三件事導出 ![]()
使:我知道了。Eudoxus 說,給定兩個幾何量(線段、面積、體積、或其比例)ξ 與 η,且
阿:Eudoxus 的確是這麼說的。不過,我們可以這個性質用比較簡潔的方式表示出來:任給兩個幾何量 ξ 與 η,一定存在一個正整數 n,使得 王:(想了一下)Archimedes 先生,你這個敘述果然簡潔多了,並且容易瞭解。我們就把它叫做「Archimedes 性質」吧。
阿:瞭解了這個性質之後,我就可以證明
利用這個 n,我們把 AP 做 n 等分,得到 ![]() 因此, ![]() 但是,我們又有 ![]() 所以我們就得到一個矛盾現象了。 同理,可證明 ![]()
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編輯:康明軒 / 校對:鄧惠文 / 繪圖:張琇惠 | 最後修改日期:4/26/2002 |