Archimedes（阿基米德）論面積 (第 6 頁)

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Archimedes（阿基米德）論面積（第 6 頁）

康明昌

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．原載於數學傳播第六卷第一期
．作者當時任教於台大數學系

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拋物線的面積（第二個方法）

阿：我還有一個方法可以計算拋物線的面積。在說明這個方法之前，我先敘述一個拋物線的性質。假設有一個拋物線（如圖一）。如果 A 與 P 是拋物線上的任意兩點，D 是 AP 上的任意點，AB 與 DE 都是平行於拋物線對稱軸的直線，PC 是通過 P 點的切線，則

$\begin{displaymath}\frac{AC}{BC} = \frac{AP}{DP} \end{displaymath}$

（轉向使者）這個性質你大概聽 Apollonius 講過吧。

(圖一)

使：是的 ^註4 。

(圖二)

阿：假設這個性質。我要說明我的第二個求面積的方法。假設有一個拋物線 y=x₂-4x（如圖二），如何求拋物線 AQ₁P 之間的面積呢？設 BP 是通過 P 點的切線，AB 平行於拋物線的對稱軸。設 n 是任意正整數，現在把線段 AP 作 n 等分，其分點分別是 $\{A, P_1, P_2, \cdots \cdots$ , $P_k, \cdots, P_n = P \}$ 是 PQ_k 與 AB 的交點。R_k 是 P_k Q_k 與 PQ_k+1 的交點。B_k 是 P_k Q_k 與 PB 的交點。我現在要證明 ^註5 ：

$\begin{displaymath} \sum_{k=1}^{n-1}\mbox{\hskip 1.2pt plus0.4pt minus0.2pt{\fon... ...inus0.1pt{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 9}} \end{displaymath}$

請注意，梯形 Q_n-1P_n 與梯形 R_n-1P_n 其實是三角形。

要證明這些關係，我們只要把 x 軸想成是一根槓桿，A 點是支點。現在在 C 點掛上 n 個小鉛球，第一個小鉛球和梯形 B₀ P₁ 平衡，第二個和梯形 B₁ P₂平衡，第 k 個小鉛球和梯形 B_k-1 P_k，平衡。那麼在 C 點這些小鉛球就和 $\triangle ABP$ 平衡。

但是 $\triangle ABP$ 的重心的水平位置距離原點是 4 / 3。因此在 C 點的那些小鉛球的總質量是 ${\rho \alpha} / 3$ ，其中 α 是 $\triangle ABP$ 的面積，ρ 是均勻物質密度。

另一方面，由相似形關係，我們知道

$\begin{displaymath} \frac{\mbox{{\fontfamily{cwM6}\fontseries{m}\selectfont \cha... ...+Q_1P_1}=\frac{B_0A}{S_1A} =\frac{AP_n}{AP_1} =\frac{AC}{AP_1} \end{displaymath}$

同理，對於 $1\leq k\leq n$ ，

$\begin{displaymath} \frac{\mbox{{\fontfamily{cwM6}\fontseries{m}\selectfont \cha... ...R_kP_k} =\frac{B_0A}{S_kA} =\frac{AP_n}{AP_k} =\frac{AC}{AP_k} \end{displaymath}$

因此，我們如果在 P_k 掛上一個質量為 $\rho \cdot$ {梯形 B_k-1P_k 面積} 的小鉛球，在 C 點掛上一個質量為 $\rho \cdot$ {梯形 R_k-1P_k 面積} 的小鉛球，我們得到另一種平衡狀態。我們對於 k=1,2, $\cdots \cdots$ , n 都這麼做，那麼，C 點相當於掛上一個質量 $\rho \cdot \beta$ 的小鉛球，其中 $\beta = \sum_{k=1}^{n-1}$ 梯形 R_kP_k+1 面積；槓桿右側，在每一個P_k點掛上一個質量為 $\rho \cdot$ {梯形 B_k-1P_k 面積} 的小鉛球 k=1, … , n。

很顯然，這時候槓桿右側的質量比在 AP 上擺上 $\triangle ABF$ 要大。（後者是我們最先考慮的平衡狀態的右側。）所以， $\rho\cdot\beta>\frac{\rho\cdot\alpha}{3}$ ，也就是，

$\begin{displaymath} \frac{1}{3}\triangle ABP\mbox{{\fontfamily{cwM2}\fontseries{... ...inus0.1pt{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 9}} \end{displaymath}$

同理，可證明

$\begin{displaymath} \sum_{k=1}^{n-1}\mbox{\hskip 1.2pt plus0.4pt minus0.2pt{\fon... ...inus0.1pt{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 9}} \end{displaymath}$

設 $r=\sum_{k=1}^{n-1}\mbox{\hskip 1.2pt plus0.4pt minus0.2pt{\fontfamily{cwM6}\fon... ...0.0pt plus0.2pt minus0.1pt{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 9}}$ ，則 $\beta-\gamma=\sum_{k=1}^n\mbox{\hskip 1.2pt plus0.4pt minus0.2pt{\fontfamily{cw... ...0.0pt plus0.2pt minus0.1pt{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 9}}$ 。

注意，梯形 Q_n-1Q_n 其實是 $\triangle Q_{n-1}R_{n-1}P$ 。可是，因為

$\begin{displaymath} \frac{AB}{AS_1}=\frac{AP_n}{AP_1}=n, \frac{AB}{AS_2}=\frac{A... ...{n}{2}, \cdots, \frac{AB}{AS_k}=\frac{AP_n}{AP_k}=\frac{n}{k}, \end{displaymath}$

所以S₁,S₂, $\cdots \cdots$ , S_k, $\cdots \cdots$ , S_n-1 是線段 AE 的 n 等分點。
因此 PS₁, $\cdots \cdots$ , PS_n-1 在每一個線段 P_kB_k,k=1, $\cdots \cdots$ , n-1, 都截出 n 個相等的小線段。所以，

$\begin{displaymath} \sum^{n}_{k=1} \mbox{{\fontfamily{cwM6}\fontseries{m}\select... ...ly{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 9}} = \frac{\alpha}{n} \end{displaymath}$

我現在把我們得到的結果總結一下，因為 β 與 γ 是把 AP 作 n 等分之後才得來的，所以我們把 β 寫作 $\beta_n$ , γ 寫作 $\gamma_n$ ：

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{l} \gamma_n < \frac{\alpha}{3}< \beta_... ... \beta_n - \gamma_n = \frac{\alpha}{n}\\ \end{array}\right. \end{displaymath}$

(轉向使者)你知道 Eudoxus 的「窮盡法」中有一種方法，可以從以上三件事導出 $\delta=\frac{\alpha}{3}$

使：我知道了。Eudoxus 說，給定兩個幾何量（線段、面積、體積、或其比例）ξ 與 η，且 $\xi > \eta$ 。現在取 $\xi_1 > \xi , \xi_2 > \frac{1}{2}(\xi-\xi_1) , \xi_3 > \frac{1}{2}(\xi -\xi_1-\xi_2)$ 。那麼經過有限次之後， $\xi - \xi_1 - \xi_2 -$ $\cdots \cdots$ $- \xi_n < \eta$ 。

阿：Eudoxus 的確是這麼說的。不過，我們可以這個性質用比較簡潔的方式表示出來：任給兩個幾何量 ξ 與 η，一定存在一個正整數 n，使得 $n\xi > \eta$ ，也就是 $\xi > \frac{\eta}{n}$ 。

王：（想了一下）Archimedes 先生，你這個敘述果然簡潔多了，並且容易瞭解。我們就把它叫做「Archimedes 性質」吧。

阿：瞭解了這個性質之後，我就可以證明 $\delta=\frac{\alpha}{3}$ 。如果 $\delta \neq \frac{\alpha}{3}$ ，先假設 $\delta > \frac{\alpha}{3}$ 。因此存在一個正整數 n，使得 $\frac{\alpha}{n} < \delta - \frac{\alpha}{3}$ 。

利用這個 n，我們把 AP 做 n 等分，得到 $\beta_n$ 與 $\gamma_n$ 。現在

$\begin{displaymath}\gamma_n < \frac{\alpha}{3} < \delta < \beta_n, \end{displaymath}$

因此，

$\begin{displaymath}\delta - \frac{\alpha}{3} < \beta_n - \gamma_n \end{displaymath}$

但是，我們又有

$\begin{displaymath}\beta_n - \gamma_n = \frac{\alpha}{n} < \delta - \frac{\alpha}{3}.\end{displaymath}$

所以我們就得到一個矛盾現象了。同理，可證明 $\delta < \frac{\alpha}{3}$ ，也是不可能的。

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編輯：康明軒 ∕ 校對：鄧惠文 ∕ 繪圖：張琇惠

最後修改日期：4/26/2002