Archimedes（阿基米德）論面積 (第 4 頁)

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Archimedes（阿基米德）論面積（第 4 頁）

康明昌

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．原載於數學傳播第六卷第一期
．作者當時任教於台大數學系

‧註釋
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拋物線的旋轉體體積

阿：現在有一個拋物線 x=y²，繞著 x 軸旋轉，如下圖：

你們能不能猜出斜線部份所繞出來的體積？如果我說。我拿一個垂直於 x 軸的平面和這個旋轉體相交，每一個橫截面都是一個圓。我如果把這些圓的面積通通湊起來。你們相信不相信這樣就得到了旋轉體的體積？

王：我相信，但是我不能證明這件事。

阿：我也相信，同樣的，我也不能證明它。但是這就夠了。

現在請看下圖。 $PS /\!/ QR /\!/ x$ 軸。PS 繞著 x 軸旋轉可以得到一個圓柱體。

使：這個圓柱體的底部半徑是2，高是4。

阿：是的。所以我們只要求出這兩個旋轉體體積的比例就夠了。

再看上圖。如圖取一個平面垂直於 x 軸，這個平面在這兩個旋轉體的橫截面都是圓。如果這個平面在 OU 線段之上變動。我們就得到所有可能的橫截面。

假設 T 是 OU 之上的任意點，我們的平面在 T 點和 x 軸相交，那麼這個平面這時候在圓柱體的橫截面的半徑是 TW，在拋物線旋轉體的橫截面的半徑是 TV。因此

$\begin{displaymath} \frac{\mbox{{\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \cha... ...t \char 9}}} = \frac{TW^2}{TV^2} = \frac{4}{y^2}=\frac{4}{x} \end{displaymath}$

所以，我們如果把原點想像成槓桿的支點，x 軸想像成槓桿，把圓柱體橫截面留在原來的位置。把拋物線旋轉體的橫截面搬到支點左側距離 4 的位置，我們是不是得到一個平衡的狀態？如果，我們對於每一個橫截面都這麼做，我們得到什麼呢？

使：天啊！槓桿左邊相當於一個質量 $\rho \cdot V_1$ 的鉛球（如下圖），V₁ 是拋物線旋轉體的體積，ρ 是密度。

阿：槓桿右側是不是相當於在支點右側距離 z 的位置擺上一個質量 $\rho V_2$ 的小鉛球。其中 V₂，是圓柱體的體積？

王：所以， $\rho V_1 \cdot 4 =\rho V_2 \cdot 2$ 。所以，

$\begin{displaymath}\frac{V_1}{V_2} = \frac{1}{2} \end{displaymath}$

哈哈，原來這麼簡單！

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編輯：康明軒 ∕ 校對：鄧惠文 ∕ 繪圖：張琇惠

最後修改日期：4/26/2002