Archimedes（阿基米德）論面積（註釋）

康明昌

註釋

...^註1: 埃及人關於半徑為 r 的圓面積公式是 $\frac{256}{81} \cdot r^2$ 。 $\frac{256}{81} \approx 3.1604$ 。見 Morris Kline 書，19頁。
...^註2: 如果讀者不是像 Apollonius 那麼熟悉圓錐曲線的性質，他可以假設過 A 點的切線方程式是 $y= \frac{x}{4} +1$ 。我們在第四章第一節就可以導出這件事。
...^註3: 要得到 $\frac{LM}{NM}=\frac{CP}{KP}$ ，直接由各點的座標，當然也可檢查出來。
...^註4: 假設 (a,a²) 是拋物線 y=x² 上的任意點，如果讀者知道通過 (a,a²) 的切線方程式是 y=2ax-a²，很容易可以導出這個性質。我們在第四章第一節會說明如何求出這個切線方程式。
...^註5: 梯形 R_kP_k+1 是梯形 R_kQ_k+1P_k+1P_k 的簡寫。
...^註6: 許多人相信 Euclid 是 Platonic school 的弟子。見 van der Waerden 書，P.196。
...^註7: 很有趣的是，Archimedes 完全意識到這些推論的瑕疵。將近二千年後的 Leibniz（萊布尼茲）遇到同樣的情形，卻毫無意識到這些推論的不嚴謹性，見 van der Waerden 書，P.214。
...^註8: 這是所謂 Pell equation。其歷史與解法可參看任何一本初等數論的教科書。許多人相信 Archimedes 並沒有把這個方程式的答案解出來。
...^註9: van der Waerden 書第八章與 Morris Kline 書第八章詳盡的討論希臘數學衰退的原因。
...^註10: Struik 書 P.48，對於 Platonic school 與 Democritus' school 的不同，有相當新穎的說法。
...^註11: Archimedes 這些方法寫在一本《the Method》的小冊子，在 Newton（牛頓）與 Leibniz（萊布尼茲）時代已經失傳。直到1906年，這本小冊子在君士坦丁堡 (Constantinople) 才被人們發現。見 van der Waerden 書，P.212。
...^註12: 或者我們知道通過五點的切線方程式。
...^註13: 為了使我們的圖形清楚起見，上述的補助線沒有畫出來。但是讀者只要利用「拋物線的面積（第二個方法）」中拋物線切線的性質，再配合相似形關係，就可證明 $RM_1=\frac{RM}{4}$ 。
...^註14: (2)是由(1)利用「Eudoxus 性質」得到的。二十世紀的讀者已經具備了無窮等比級數的工具，由(2)就可導出 $\beta=\frac{4\alpha}{3}$ 。但是 Archimedes 根本不知道什麼是無窮級數？
...^註15: 與上一節利用「Eudoxus（或Archimedes）性質」一樣。
...^註16: 讀者如果自己想不出如何利用槓桿原理發現這個定理，請參考 van der Waerden書P.214。
...^註17: 本章的情節是作者自己杜撰的。有關數學的部份，全部是有憑有據的；有一部份地方使用解析幾何是為了討論方便，Archimedes 是不知道如何把幾何圖形用代數方程式表示出來的。

最後修改時間: 4/26/2002　