Archimedes（阿基米德）論面積 (第 3 頁)

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Archimedes（阿基米德）論面積（第 3 頁）

康明昌

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．原載於數學傳播第六卷第一期
．作者當時任教於台大數學系

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槓桿原理與球的體積

阿：聰明的使者，你大概已經知道我能夠證明：如果有一個半徑為 r 的球，還有一個底部半徑為 r，高為 2r 的圓柱體。那麼圓柱體的體積是球的體積的 $\frac{3}{2}$ 倍，圓柱體的表面積（連上下底）也是球的表面積的 $\frac{3}{2}$ 倍。（如下圖）

使：我的主人想破了腦袋也沒辦法證明你這個定理。我們知道，你一定是利用 Eudoxus 的「窮盡法」來證明的。

王：Archimedes，你真了不起。你怎麼得到這個結果呢？

阿：(微笑)是的。先不要忙著去證明這個定理。你們知道我是怎樣猜到這個答案嗎？我利用了「槓桿原理」。

王、使：(同聲)「槓桿原理」？

阿：是的。假設這裡有一根槓桿（如下圖）， $\triangle$ 是槓桿的支點，左邊放一個質量是 m₁ 的小鉛球，右邊放一個質量為 m₂ 的小鉛球。如果 r₁ 與 r₂ 分別是左，右兩邊鉛球與交點的距離，那麼槓桿平衡的充份必要條件是 m₁ r₁ = m₂ r₂。這就是「槓桿原理」。你們想想:如果這兩個立體都是用同樣的均勻物質製成的，例如他們的密度都是 ρ，ρ 是一個固定的常數。假設球的體積是 V₁，圓柱體的體積是 V₂，那麼他們的質量是多少？

王：球的質量是 $\rho V_1$ ，圓柱體是 $\rho V_2$ 。

阿：如果有一根槓桿如下圖，把這個球放在支點右側（如圖，假想這根槓桿是一根很細的鐵線，從球的最左側穿進去，通過球心，直到最右側），交點左側放一個小鉛球，這個小鉛球可以想像成一個點，沒有體積，但是質量是 $\rho V_1$ 。那麼小鉛球放在哪裡，這個槓桿才會平衡？

使：放在支點左側距離 r 的位置，因為球的重心是球心，因此右側的球體可以想像是在支點右側距離 r 的位置也擺一個與球同樣質量的小鉛球。

阿：同樣的問題，如果交點右側擺上圓柱體，左側換個質量是 $\rho V_2$ 的小鉛球，那麼鉛球要放在哪裡？

使：仍然放在同樣位置，因為圓柱體的重心還是在支點右方距離 r 的位置。

阿：我只是利用這些原理就猜出球的體積與表面積。不過我現在要賣個關子，不告訴你們我的方法的細節，我先舉幾個簡單的例子來說明一下槓桿原理的妙用。

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編輯：康明軒 ∕ 校對：鄧惠文 ∕ 繪圖：張琇惠

最後修改日期：4/26/2002