談韓信點兵問題 (第 5 頁)

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談韓信點兵問題（第 5 頁）

蔡聰明

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．原載於科學月刊第二十九卷第九期
．作者當時任教於台大數學系

‧註釋
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孫子問題

現在我們再往前一步，來到孫子問題，即(3)式之求解。仿上述辦法，先解齊次方程：

$\begin{displaymath} \left \{ \begin{array}{l} x=3q_1+0\\ x=5q_2+0\\ x=7q_3+0 \end{array}\right. \end{displaymath}$

得到通解公式為

$\begin{displaymath} x = 3 \times 5\times 7\times n = 105 \cdot n, \quad n \in \mathbf{Z} \end{displaymath}$

(15)

其次，我們分別找

$\begin{eqnarray*} \left \{ \begin{array}{l} x=3q_1+1\\ x=5q_2+0\\ x=7q_3+0 \en... ...{array}{l} x=3q_1+0 \\ x=5q_2+0 \\ x=7q_3+1 \end{array}\right. \end{eqnarray*}$

之特解，得到 x=70,x=21,x=15。從而

x=2 x 70 +3 x 21+2 x 15

(16)

為孫子問題（即(3)式）的一個特解。

將(15)式與(16)式相加起來，得到

$\begin{displaymath} x=2\times 70 +3\times 21+2\times 15+105\cdot n , \quad n\in \mathbf{Z} \end{displaymath}$

(17)

我們仿上述很容易可以證明，(17)式就是孫子問題的通解公式。特別地，當 n=-2 時，x=23 為最小正整數解。

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編輯：洪瑛 ∕ 繪圖：簡立欣

最後修改日期：2/17/2002