談韓信點兵問題 (第 10 頁)

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談韓信點兵問題（第 10 頁）

蔡聰明

．原載於科學月刊第二十九卷第九期
．作者當時任教於台大數學系

‧註釋
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L 的性質

現在我們知道，L 是從原料集 Z 到產品集 Z_(3,5,7)³ 之間的一個映射，記成

$\begin{displaymath} L:\mathbf{Z}\rightarrow \mathbf{Z}_{(3,5,7)}^3 \end{displaymath}$

相對於分合工具的加法與係數乘法，L 具有什麼性質呢？解決孫子問題的分析與綜合法，如何反映成 L 的性質？

我們觀察到

$\begin{displaymath} L(64)= \pmatrix{ 1 \cr 4 \cr 1 \cr } , \quad L(47) = \pmatrix{ 2 \cr 2 \cr 5 \cr } \end{displaymath}$

而且

$\begin{displaymath} L(64+47)=L(111)= \pmatrix{ 0 \cr 1 \cr 6 \cr } \end{displaymath}$

由(20)式知

L(64+47)=L(64)+L(47)

同理，易驗知

$\begin{displaymath} L(9\times 64)=9\cdot L(64) \end{displaymath}$

一般而言，我們有：

定理1. 映射 $L:\mathbf{Z}\rightarrow \mathbf{Z}_{(3,5,7)}^3$ 滿足

(I)

L(x+y)=L(x)+L(y)

(22)

(II)

$\begin{displaymath} L(\alpha x)=\alpha L(x) \end{displaymath}$

(23)

其中 x、y、α 皆屬於 Z。

我們稱(21)式為 L 具有加性，(22)式為 L 具有齊性。兩者合起來統稱為 L 具有疊合原理 (Superposition principle)，或稱 L 為一個線性算子 (Linear operator)。這兩條性質是由齊一次函數 f(x)=ax 抽取出來的特徵性質。

這些似乎有點兒抽象，相當於從算術飛躍到代數的情形。但是，抽象是值得的，它使我們看得更清楚，也易於掌握本質、要點。

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編輯：洪瑛 ∕ 繪圖：簡立欣

最後修改日期：2/17/2002