談韓信點兵問題 (第 11 頁)

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談韓信點兵問題（第 11 頁）

蔡聰明

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．原載於科學月刊第二十九卷第九期
．作者當時任教於台大數學系

‧註釋
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線性問題的求解

孫子問題就是欲求解線性方程式

$\begin{displaymath} L(x)= \pmatrix{ r_1 \cr r_2 \cr r_3 \cr } \end{displaymath}$

(24)

特別地，求解

$\begin{displaymath} L(x)= \pmatrix{ 2 \cr 3 \cr 2 \cr } \end{displaymath}$

(25)

L 具有疊合原理（或線性），導致了下列求解線性方程式的三個步驟：

(I)齊次方程

先解齊次方程 $L(x)= \pmatrix{ 0 \cr 0 \cr 0 \cr }$ ，得到齊次通解 $x=105 \cdot n$ , $n \in \mathbf{Z}$

(II)非齊次方程

其次，解非齊次方程

$\begin{displaymath} L(x) = \pmatrix{ r_1 \cr r_2 \cr r_3 \cr } = r_1 \pmatrix... ... 0 \cr 1 \cr 0 \cr } + r_3 \pmatrix{ 0 \cr 0 \cr 1 \cr } \end{displaymath}$

(26)

的一個特解。為此，我們求

$\begin{eqnarray*} L(x) &=& \pmatrix{ 1 \cr 0 \cr 0 \cr } , \\ L(x) &=& \pmat... ...1 \cr 0 \cr } , \\ L(x) &=& \pmatrix{ 0 \cr 0 \cr 1 \cr } , \end{eqnarray*}$

之特解，分別得到 x=70,x=21,x=15。作疊合

x=70 r₁+21 r₂+15 r₃

就是(25)的一個特解。

(III)再作疊合

將非齊次方程的一個特解加上齊次通解，得到 $x=70 r_1+21r_2+15 r_3+105\cdot n$ , $n \in \mathbf{Z}$ 就是孫子問題(23式)的通解公式。

一般地且抽象地探討向量空間的性質（一個集合具有加法與係數乘法）、兩個向量空間之間的線性算子之內在結構，以及求解相關的線性方程式，這些就構成了線性代數 (Linear Algebra) 的內容。這是從代數學、分析學、幾何學、物理學的許多實際解題過程中，抽取出來的一個共通的數學理論架構，不但重要而且美麗。

我們也看出，孫子問題是生出線性代數的胚芽之一。這樣的問題就是好問題，值得徹底研究清楚。

: 習題1. 有一堆蘋果，七個七個一數剩下三個，十一個十一個一數剩下五個，十三個十三個一數剩下八個，試求蘋果的個數，包括最小整數解及通解。

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編輯：洪瑛 ∕ 繪圖：簡立欣

最後修改日期：2/17/2002