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心臟線 (第 8 頁)

趙文敏

 


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.原載於科學月刊第二十一卷第五期
.作者當時任教於師大數學系
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心臟線的弧長與面積

因為心臟線是一外擺線,所以,心臟線的弧長與面積都可以根據外擺線的一般結果來說明。

若固定圓的半徑是滾動半徑的 k倍,則外擺線的一拱之長為 $\frac{8(k+1)a}{k}$,其中 a是滾動的半徑。若 k=1則所得的外擺線就是心臟線,而且整個心臟線就只是一拱。由此可知:若基圓的半徑為 a,則所得心臟線的全長為 16a

若固定圓的半徑是滾動圓半徑的 k倍,其中 k是正整數,則外擺線所圍的區域的面積為 $\pi (k+1)\cdot (k+2)a^2$,其中 a是滾動圓的半徑。由此可知:若基圓的半徑為 a,則所得心臟線圍出的面積為 $6\pi a^2$

最後,留下一個題目讓讀者練習。

習題:試證在心臟線中,不論任何方向,都有三個點的切線與此方向平行,而且更進一步地,此三點與歧點所連線段的夾角都是 120$^{\circ}$

   

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編輯:陳文是 最後修改日期:4/29/2002