心臟線 (第 2 頁)

　1│2│3│4│5│6│7│8　

心臟線（第 2 頁）

趙文敏

首頁 | 搜尋

．原載於科學月刊第二十一卷第五期
．作者當時任教於師大數學系
‧對外搜尋關鍵字

心臟線的極坐標方程式

在圖一中，選擇 A點為極點、射線 $\overrightarrow{A_O}$ 為極軸建立一個極坐標系。如此，若基圓 O的半徑為 a，則基圓的極坐標方程式為 $r=2a\cos\theta$ 。

設過 A 點的任意直線與基圓 O 交於另一點 M ( $2a\cos\theta$ ,θ)（此為極座標），其中， $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ 。若 P 與 P' 兩點在直線 AM 上， $\overline{MP} = \overline{MP'}$ =基圓的直徑 2a，而且 P 與 M 在 A 的同側、P' 與 M 在 A 的異側，則 P 點的極坐標為 ( $2a + 2a\cos\theta$ ,θ)、而 P' 點的極坐標為 ( $2a - 2a\cos\theta$ , $\pi +\theta$ )。由此可知：所有 P 點所成圖形的方程式為 $r= 2a + 2a\cos\theta$ ( $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ )。

另一方面，因為 $2a- 2a\cos\theta = 2a + 2a \cos (\pi+\theta )$ ，而且當 $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ 時可得 $\frac{\pi}{2} \leq \pi +\theta \leq \frac{3}{2}\pi$ ，所以，所有 P' 點所成圖形的方程式為 $r= 2a + 2a\cos\theta$ ( $\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{3}{2}\pi$ )。於是，所有 P 點與 P' 點所成的圖形的極坐標方程式為 $r= 2a + 2a\cos\theta$ ( $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{3}{2}\pi$ )。因為 $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{3}{2}\pi$ 表示餘弦函數的一個週期，所以，我們可將它改為 $0 \leq \theta \leq 2\pi$ 。由此可知：以 $r=2a\cos\theta$ 為基圓、極點為歧點的心臟線的極坐標方程式為

$\begin{displaymath} r=2a(1+\cos\theta ) \; , \; 0 \leq\theta\leq 2\pi \end{displaymath}$

同理，若基圓為 $r=-2a\cos\theta$ ，歧點為極點，則所得心臟線的極坐標方程式為

$\begin{displaymath} r=2a(1-\cos\theta ) \; , \; 0 \leq\theta\leq 2\pi \end{displaymath}$

若基圓為 $r=2a\sin\theta$ ，歧點為極點，則所得心臟線的極坐標方程式為

$\begin{displaymath} r=2a(1+\sin\theta ) \; , \; 0 \leq\theta\leq 2\pi \end{displaymath}$

若基圓為 $r=-2a\sin\theta$ ，歧點為極點，則所得心臟線的極坐標方程式為

$\begin{displaymath} r=2a(1-\sin\theta ) \; , \; 0 \leq\theta\leq 2\pi \end{displaymath}$

　1│2│3│4│5│6│7│8　


	（若有指正、疑問……，可以在此留言或寫信給我們。）

EpisteMath (c) 2000 中央研究院數學所、台大數學系
各網頁文章內容之著作權為原著作人所有

編輯：陳文是

最後修改日期：4/29/2002