在圖二中,設有一個以 A點為歧點的心臟線,
是此心臟線上
通過 A點的一弦,直線
與基圓 O交於另一點 M。作基圓 O 的一直徑
,使得
而且 是圓 O 的一個內接四邊形。因為 的一組對邊
與 平行且等長,所以, 是平行四邊形。於是,
。又因為 是圓內接四邊形,所以,
。
由此可得
故 是等腰三角形,
。
另一方面,因為基圓 O 過 Q 的切線必與
及
垂直,所以,此切線與
的交點 N 乃是 的中點。由此可知:點 P 是點 A 對基圓 O 過 Q 之切線的對稱點。
圖二
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同理,點 P'是點 A對基圓 O過 Q'之切線的對稱點。
若以 A點為伸縮中心將基圓 O放大二倍,則放大圓的圓心是圖二中的 B點且半
徑為 2a。若直線 AQ與放大圓交於另一點 QO,則因為
,所以,放大圓過 QO 的切線與基圓過 Q 的切
線 QN平行。因為 =
,
=
,所以, QN線與直線 QOP平行。由此可知:直線
QOP就是放大圓過 QO的切線。因為
。由此可知:前述心臟線上每個點 P都是點 A至放大圓的某一切線的垂足。
若 S為一曲線而 A為一定點,則由點 A至曲線 S的所有切線的垂足所成的圖形,稱為曲線 S對點 A的垂足曲線(pedal curve)。根據前段的說明。可知:心臟線是一圓對其圓周上一定點的垂足曲線。
習題:試證在圖二中的直線 PQ與直線 P'Q'的交點必在基圓上,並由此證明此二直線互相垂直。
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