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心臟線 (第 3 頁)

趙文敏

 


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.原載於科學月刊第二十一卷第五期
.作者當時任教於師大數學系
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心臟線是一垂足曲線

在圖二中,設有一個以 A點為歧點的心臟線, $\overline{pp'}$是此心臟線上 通過 A點的一弦,直線 $\overline{PP'}$與基圓 O交於另一點 M。作基圓 O 的一直徑 $\overline{QQ'}$,使得 $\overline{QQ'} \parallel
\overline{PP'}$ 而且 $\Box QMAQ'$ 是圓 O 的一個內接四邊形。因為 $\Box QPMQ'$ 的一組對邊 $\overline{QQ'}$$\overline{MP}$ 平行且等長,所以,$\Box QPMQ'$ 是平行四邊形。於是, $\angle MQ'Q = \angle MPQ$。又因為 $\Box QMAQ'$ 是圓內接四邊形,所以, $\angle MQQ' = \angle MAQ$。 由此可得 $\angle MPQ = \angle MAQ$$\triangle QAP$ 是等腰三角形, $\overline{QA} = \overline{QP}$。 另一方面,因為基圓 OQ 的切線必與 $\overline{QQ'}$$\overline{PP'}$ 垂直,所以,此切線與 $\overline{PP'}$ 的交點 N 乃是 $\overline{AP}$ 的中點。由此可知:點 P 是點 A 對基圓 OQ 之切線的對稱點。



圖二

同理,點 P'是點 A對基圓 OQ'之切線的對稱點。

若以 A點為伸縮中心將基圓 O放大二倍,則放大圓的圓心是圖二中的 B點且半 徑為 2a。若直線 AQ與放大圓交於另一點 QO,則因為 $\overline{OQ}
\parallel \overline{BQ_O}$,所以,放大圓過 QO 的切線與基圓過 Q 的切 線 QN平行。因為 $\overline{AP}$ = $2\overline{AN}$$\overline{AQ_O}$ = $2\overline{AQ}$,所以, QN線與直線 QOP平行。由此可知:直線 QOP就是放大圓過 QO的切線。因為 $\overline{AP}$ $\bot$ $\overline{Q_OP}$。由此可知:前述心臟線上每個點 P都是點 A至放大圓的某一切線的垂足。

S為一曲線而 A為一定點,則由點 A至曲線 S的所有切線的垂足所成的圖形,稱為曲線 S對點 A的垂足曲線(pedal curve)。根據前段的說明。可知:心臟線是一圓對其圓周上一定點的垂足曲線。

習題:試證在圖二中的直線 PQ與直線 P'Q'的交點必在基圓上,並由此證明此二直線互相垂直。

   

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編輯:陳文是 最後修改日期:4/29/2002