趙文敏

何謂等角螺線 等角螺線的方程式 趣史一則 等角螺線上的相似性質 黃金分割與等角螺線 等角螺線的弧長 等角螺線的再生性質 其他螺線舉例

幾何學是一門源遠流長的數學分支，在十七世紀以前，幾何學一詞甚至可說是數學的同義詞，它以往的風光可想而知。曾幾何時，因為某些內在與外在的因素，幾何學的地位似乎已逐漸沒落；在中小學的數學教材裡，幾何題材一次又一次地被刪除。這種現象使我們感到憂心，因為自然環境中隱藏著許多幾何原理，不了解這些幾何知識，不就表示我們對所生存的空間已經愈來愈不了解了嗎？

筆者從事數學教育工作多年，又是現行高中數學教科書的編者之一，對當前高中數學教材中幾何題材的過度貧乏，實在感到憂心忡忡。在無力對教科書作大幅度修改的情況下，只好在正式教科書之外從事一些修繕工作。

基於上述想法，筆者希望能以一系列的文章來介紹一些幾何題材。在內容方面，筆者首先選上曲線。因為曲線的討論不僅是幾何學中最有趣的題材之一，而且許多曲線都會在自然現象中出現，它們的性質也往往能提供重要的應用。例如：天文望遠鏡的設計，不就是根據拋物線的反射性質嗎？本文介紹等角螺線。

何謂等角螺線

在一片空曠的草地上，甲、乙、丙、丁、四隻狗分別站立在一個正方形的四個頂點 A、B、C、D上。狗主人要甲狗緊盯著乙狗、乙狗緊盯著丙狗、丙狗緊盯著丁狗、丁狗緊盯著甲狗。一聲令下，四隻狗以相同的速度同時衝向目標。假定每隻狗在每個時刻都是正面朝向它的目標，那麼，這四隻狗所跑過的路徑是什麼形式呢？

假設四隻狗在某一時刻的位置分別為 A₁、B₁、C₁、D₁（見圖一），則根據四隻狗的行動一致所產生的對稱性，可知 也是正方形，而且它的中心也就是正方形 的中心 O。更進一步地，由於在 A₁ 點的甲狗係衝向在 B₁ 點的乙狗，所以，甲狗在此一時刻的速度方向在向量 上。或者說，甲狗所跑的路徑在 A₁ 點的切線與直線 OA₁ 形成 45°的夾角。同理，

圖一

乙狗所跑的路徑在 B₁ 點的切線與直線 OB₁ 形成 45°的夾角等等。

一般而言，若一曲線在每個點 P 的切向量都與某定點 O 至此點 P 所成的向量 夾成一定角，且定角不是直角，則此曲線稱為一等角螺線 (equiangular spiral)，O 點稱為它的極點 (pole)。

前面所提的四狗追逐問題中，每隻狗所經過的路線都是一等角螺線的一部分，此等角螺線中的定角是 （或 ，因為切向量可選成相反方向），而其極點是正方形 的中心 O。