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等角螺線及其他 (第 4 頁)

趙文敏

 


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.原載於科學月刊第二十卷第九期、第十期分兩期刊出
.作者當時任教於師大數學系
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等角螺線上的相似性質

根據等角螺線的方程式 $r=ae^{\theta\cot{\alpha}}$,可以看出:對每個 θ 值,都有一個對應的 r 值;而且不同的 θ 值所對應的 r 值也不同(因為 $\cot{\alpha}\neq0$)。這種現象表示:從等角螺線上某個點出發,隨著 θ 值的無限制增大與無限制減小,此曲線會環繞它的極點形成無數多圈,一面是愈繞愈遠,一面是愈繞愈聚集在極點附近。若 $\cot{\alpha}>0$,則當 $\theta\rightarrow-\infty$ 時,曲線聚集在極點附近。若 $\cot{\alpha}<0$,則當 $\theta\rightarrow-\infty$ 時,曲線愈繞越遠。圖二是等角螺線的一部分 $(\cot{\alpha}<0)$



圖二



圖三

若輻角 $\theta_1$,$\theta_2$,$\theta_3$,… 構成一個等差數列,則由指數的性質,對應的向徑 $a e^{\theta_1\cot{\alpha}}$$a e^{\theta_2 \cot{\alpha}}$$a e^{\theta_3 \cot{\alpha}}$,… 就構成等比數列。若令 Pn 表示極坐標 $(a e^{\theta_n \cot \alpha},\theta_n)$ 的點,則上述結果表示 $\overline{OP_1}$, $\overline{OP_2}$, $\overline{OP_3}$,… 構成一個等比數列。又因 $\angle{P_1 O P_2} = \angle{P_2 O P_3} = \cdots$,所以可知 $\triangle P_1 O P_2$$\triangle P_2 O P_3$ 相似。由此可知:

\begin{displaymath}
\overline{P_1P_2} \quad , \quad \overline{P_2P_3} \quad , \quad \overline{P_3P_4} \cdots
\end{displaymath}

構成一個等比數列。

若上述等差數列 $\theta_1$,$\theta_2$,$\theta_3$,… 的公差是 $2\pi$P1, P2, P3,… 等乃是過極點的一射線與等角螺線的交點。可見:過極點作任意射線,則此射線與等角螺線的交點必以等比數列的形式排列在射線上。

對於一般的幾何圖形,若我們選定某個點做為伸縮中心將圖形放大或縮小,則可得到一個相似的圖形,在等角螺線的情形中,若伸縮中心是它的極點,則不論放大或縮小多少倍,所得的不只是相似圖形而已,它是與原等角螺線全等的一個等角螺線。為什麼呢?若以極點為伸縮中心將等角螺線 $r=ae^{\theta\cot\alpha}$ 伸縮 m 倍,則所得的圖形是等角螺線 $r=am e^{\theta\cot\alpha}$。因為 $m \neq 0$,所以可找到一個實數 $\phi$ 使得 $m=e^{\phi\cot\alpha}$。於是伸縮後的圖形為 $r=a e^{(\theta+\phi)\cot\alpha}$,這個圖形其實就是等角螺線 $r=ae^{\theta\cot\alpha}$ 繞極點順時針旋轉 $\phi$ 角所得,它自然與原等角螺線 $r=ae^{\theta\cot\alpha}$ 全等。

根據前段的說明,我們可以了解:等角螺線上的一段弧經伸縮若干倍後,必與該等角螺線上的另一弧全等。事實上,若等角螺線 $r=ae^{\theta\cot\alpha}$ 經伸縮成 $r=a e^{(\theta+\phi)\cot\alpha}$,則在等角螺線 $r=ae^{\theta\cot\alpha}$,輻角 θ 滿足 $\beta \leq \theta \leq \gamma$ 的弧,經伸縮後必與該等角螺線上輻角 θ 滿足 $\beta+\phi \leq \theta \leq \gamma+\phi$ 的弧全等。等角螺線的這項特性,使得自然界中許多物體都呈現等角螺線的形狀。例如:許多貝殼都很接近等角螺線的形狀,因為生活在殼內的動物在成長過程中都是均勻地長大,這就像相似地放大,所以,新生的部分所棲息的空間必與原有空間形狀相似。象鼻、動物的角與毛等都呈等角螺線形。在植物中,向日葵、鳳梨與雛菊上的螺旋紋也都呈等角螺線形。圖四是鸚鵡螺的橫截面,這麼美的線條,令人不得不佩服造物之奇。



圖四

   

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編輯:黃信元 最後修改日期:2/17/2002