等角螺線及其他 (第 7 頁)

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等角螺線及其他（第 7 頁）

趙文敏

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．原載於科學月刊第二十卷第九期、第十期分兩期刊出
．作者當時任教於師大數學系
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等角螺線的再生性質

垂足曲線

設 C 為一曲線而 O 為一定點，自 O 向 C 的所有切線作垂直線，則所有垂足所成的圖形稱為曲線 C 對定點 O 的垂足曲線。

若 C 是等角螺線 $r=ae^{\theta\cot\alpha}$ ，則 C 對其極點的垂足曲線是一個全等的等角螺線，為什麼呢？在圖七中，若 $H(r,\theta)$ 是在切線 PT 上的垂足，則 $r=\overline{OH}$ $=\overline{OP} \sin \alpha$ ，而 $\theta + (\pi/2-\alpha)$ 是 P 的輻角（設 $0<\alpha<\pi/2$ ）。因此，可得

$\begin{displaymath} r = \overline{OP}\sin\alpha = (a\sin\alpha)e^{(\theta-\alpha+\frac{\pi}{2})\cot\alpha} \end{displaymath}$

換言之，所有 H 點構成等角螺線 $r=(a\sin\alpha)e^{(\theta-\alpha+\frac{\pi}{2}) \cot \alpha}$ 。

焦線

設 C 為一曲線而 O 為一定點，將過 O 的所有直線都對曲線 C 作反射，若反射所得的所有直線都是某曲線的切線，則此曲線稱為曲線 C 對定點 O 的焦線。

若 C 是等角螺線 $r=ae^{\theta\cot\alpha}$ ，則 C 對其極點的焦線是一個全等的等角螺線，我們說明如下。設 P 是等角螺線 C 上一點， $R(r,\theta)$ 是極點 O 對於過 P 之法線的對稱點，則直線 OP 對等角螺線 C 反射，所得的直線就是直線 PR（見圖七）。顯然， $r=\overline{OR} = 2\overline{OP}\cos\alpha$ ，而且 $\theta-\alpha$ 是點 P 的輻角（設 $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$ ）。因此，可得

$\begin{displaymath} r=2\overline{OP}\cos\alpha=(2a\cos\alpha)e^{(\theta-\alpha)\cot\alpha} \end{displaymath}$

換言之，所有 R 點構成等角螺線 $r=(2a\cos\alpha)e^{(\theta-\alpha) \cot \alpha}$ 。因為此等角螺線過 R 點的切線與直線 OR 的夾角等於 α，而直線 PR 正具有這項性質。也就是說，直線 PR 就是此等角螺線在 R 點的切線。因此，此等角螺線就是原等角螺線 $r=e^{\theta\cot\alpha}$ 對極點 O 的焦線。

漸屈線

設 C 為一曲線，作 C 的所有法線，若所有法線都是某曲線的切線，則此曲線稱為曲線 C 的漸屈線。

若 C 是等角螺線 $r=e^{\theta\cot\alpha}$ ，則 C 的漸屈線是一個全等的等角螺線，我們說明如下。設 P 是等角螺線 C 上一點， $N(r,\theta)$ 在過 P 的法線上而且 $\overline{ON}\perp\overline{OP}$ （見圖七）。顯然， $\overline{ON}=\overline{OP}\cot\alpha$ ，而且 $\theta-\frac{\pi}{2}$ 是點 P 的輻角（設 $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$ ）。因此，可得

$\begin{displaymath} r=\overline{OP}\cot\alpha=(a\cot\alpha)e^{(\theta-\frac{\pi}{2})\cot\alpha} \end{displaymath}$

換言之，所有 N 點構成等角螺線 $r=(a\cot\alpha)e^{(\theta-\frac{\pi}{2}) \cot \alpha}$ 。因為此等角螺線過 N 點的切線與直線 ON 的夾角等於 α，而法線 PN 正具有這項性質。也就是說，法線 PN 就是此等角螺線在 N 點的切線。因此，此等角螺線就是 $C:r=ae^{\theta\cot\alpha}$ 的漸屈線。

曲線 C 的漸屈線也可定義為「曲線 C 的每個點的曲率中心所成的圖形」。在圖七中，該等角螺線在 P 點的曲率中心就是 N、曲率半徑就是 $\overline{NP}$ （ $= \overline{OP}\csc\alpha$ ）。

: 習題：
試證圖七中的所有 T 點所成的圖形仍是一個全等的等角螺線，稱為原等角螺線的漸伸線 (involute)。

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編輯：黃信元

最後修改日期：2/17/2002