等角螺線及其他 (第 6 頁)

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等角螺線及其他（第 6 頁）

趙文敏

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．原載於科學月刊第二十卷第九期、第十期分兩期刊出
．作者當時任教於師大數學系
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等角螺線的弧長

假定我們想計算等角螺線 $r=ae^{\theta\cot\alpha}$ 上，輻角 θ 滿足 $\beta \leq \theta \leq \gamma$ 那段弧的長，利用前面所提的相似性質，我們可將區間 $[\beta,\gamma]$ 等分成 n 等分，設每一等分的長為 h，即 $h=\frac{(\gamma-\beta)}{n}$ 。又令 P_i 表示極坐標 ( $ae^{\beta+ih}\cot\alpha, \beta+ih$ ) 的點，i=0,1,2,…,n，先考慮所得折線的長 $\overline{P_0P_1}$ + $\overline{P_1P_2}$ + … + $\overline{P_{n-1}P_n}$ 。若這個和在 $n\rightarrow\infty$ （或 $h \rightarrow 0$ ）時的極限存在，則其極限值就是所欲求的弧長。

上述的折線長怎麼計算呢？因為 $\triangle P_iOP_{i+1}$ 與 $\triangle P_0OP_1$ 相似，所以 $\overline{P_iP_{i+1}} : \overline{P_0P_1}$ = $\overline{OP_i}:\overline{OP_0}$ = $e^{ih\cot\alpha}$ 由此可得

$\begin{eqnarray*} &&\overline{P_0P_1}+\overline{P_1P_2}+\cdots+\overline{P_{n-1}... ...ar 113}}\hskip 1.2pt plus0.4pt minus0.2pt0<\alpha<\frac{\pi}{2}) \end{eqnarray*}$

另一方面，利用餘弦定律可求得

$\begin{displaymath} \overline{P_0P_1}^2=a^2e^{2\beta\cot\alpha}[(e^{h\cot\alpha}-1)^2+4e^{h\cot\alpha}\sin^2\frac{h}{2}] \end{displaymath}$

再根據微積分中的L'Hospital法則，可得

$\begin{displaymath} \lim_{h\rightarrow 0}\frac{2\sin\frac{h}{2}}{e^{h\cot\alpha}-1}=\frac{1}{\cot\alpha}=\tan\alpha \end{displaymath}$

由此可得

$\begin{eqnarray*} \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\overline{P_0P_1}}{e^{h\cot\alpha}-... ...alpha}\sqrt{1+\tan^2\alpha}\\ &=&ae^{\beta\cot\alpha}\sec\alpha \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lefteqn{ \lim_{h\rightarrow 0} (\overline{P_0P_1} + \overlin... ...}-1)\\ &=&a\sec\alpha(e^{\gamma\cot\alpha}-e^{\beta\cot\alpha}) \end{eqnarray*}$

由此可知：在等角螺線 $r=ae^{\theta\cot\alpha}$ 上，輻角 θ 滿足 $\beta \leq \theta \leq \gamma$ 那段弧的長為：

$\begin{displaymath} a\sec\alpha(e^{\gamma\cot\alpha}-e^{\beta\cot\alpha}) \; , \end{displaymath}$

此值等於該弧的兩端點向徑之差與 $\sec\alpha$ 的乘積。

在 $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$ 的情形中，因為當 $\theta\rightarrow-\infty$ 時，可得 $ae^{\theta\cot\alpha}\rightarrow 0$ ，所以，極點可以看成是等角螺線的一個終極位置。我們也因此可以問：由點 $P (a e^{\beta \cot \alpha}, \beta)$ 繞回極點 O 的長度為多少？這段弧是輻角 θ 滿足 $-\infty < \theta \leq \beta$ 所對應的部分，它的長度可以分別考慮 θ 滿足 $\beta-1\leq\theta\leq\beta$ 、 $\beta-2\leq\theta\leq\beta-1$ 、… 等部分的弧長，然後相加而得。因此，由 $P (a e^{\beta \cot \alpha}, \beta)$ 至 O 的弧長等於

$\begin{eqnarray*} \lefteqn{ \sum_{n=0}^\infty a\sec\alpha(e^{(\beta-n)\cot\alph... ...ha\cdot e^{\beta\cot\alpha} \\ &=& \overline{OP}\cdot\sec\alpha \end{eqnarray*}$

前面所得的結果，可以做一項有趣的幾何解釋：過 O 作一直線與 $\overline{OP}$ 垂直，因為過 P 的切線與 $\overline{OT}$ 不垂直，所以，上述垂直線與切線交於一點 T。由於 $\angle OPT=\alpha$ ，於是，可得 $\overline{PT}=\overline{OP}\cdot\sec\alpha$ 。換言之，由 P 點繞回 O 點的弧長與 $\overline{PT}$ 的長相等，這就是托里拆利所發現的性質（見圖七）。

圖七

前段所提的性質，還可作如下的解釋：設想等角螺線在直線 PT 上作不滑的滾動，則極點 O 最後會移動到 T，而且在滾動過程中，O 點的運動路徑就是 $\overline{OT}$ 。

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編輯：黃信元

最後修改日期：2/17/2002