等角螺線及其他 (第 5 頁)

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等角螺線及其他（第 5 頁）

趙文敏

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．原載於科學月刊第二十卷第九期、第十期分兩期刊出
．作者當時任教於師大數學系
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黃金分割與等角螺線

環繞某個定點而相似地縮小，這是等角螺線在其極點附近呈現的形狀。假如我們將多邊形環繞一定點而相似地縮小，是不是會與等角螺線生關聯呢？

圖五

在圖五中， $\Box ABDF$ 、 $\Box CDFH$ 、 $\Box EFHJ$ 、 $\Box GHJK$ 、 $\Box IJKL$ 、… 等是一系列的矩形，這些矩形中每兩個都相似（亦即：邊的比值相等），而且後一矩形都是由其前面的矩形挖掉一個正方形而得的。如： $\Box CDFH$ 是由 $\Box ABDF$ 挖掉正方形 $\Box ABCH$ 而得的。此時，上列矩形的第一個頂點 A、C、E、G、I、K … 等會落在一等角螺線上，此等角螺線的極點是 $\overline{AE}$ 、 $\overline{BF}$ 、 $\overline{CG}$ 、 $\overline{DH}$ 等共交的點 O。若以 O 為極點，射線 $\overrightarrow{OE}$ 為極軸，且 A 的極坐標為 $(a,\pi)$ ，則此等角螺線的極坐標方程式為

$\begin{displaymath} r=\frac{a}{\phi^2}(\phi^{2/\pi})^{\theta} \end{displaymath}$

其中 $\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 。此等角螺線通常稱為黃金螺線。

為什麼會扯上 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 呢？原來這個數就是上述相似矩形的長邊與短邊的長度之比。因為由 $\Box ABDF$ 與 $\Box CDFH$ 可得

$\begin{eqnarray*} && \overline{BD}:\overline{BC} = \overline{BC}:\overline{CD} \... ...ntseries{m}\selectfont \char 209}}\overline{BC}:\overline{CD}>1) \end{eqnarray*}$

若線段 $\overline{BD}$ 上的一點 C 滿足 $\overline{BD}:\overline{BC} = \overline{BC}:\overline{CD}$ ，則稱 C 點將 $\overline{BD}$ 黃金分割。當 C 點將 $\overline{BD}$ 黃金分割時， $\overline{BD}:\overline{BC}$ （或 $\overline{BC}:\overline{CD}$ ）的值是 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ ，此數稱為黃金分割比。若一矩形的長邊與短邊的比值為 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ ，則此矩形稱為黃金矩形。

由黃金矩形可引出等角螺線，將矩形改成三角形，也會有同樣的結果嗎？

在圖六中 $\triangle ABC$ 、 $\triangle BCD$ 、 $\triangle CDE$ 、 $\triangle DEF$ 、 $\triangle EFG$ 、 $\triangle FGH$ 、……等是一系列的等腰三角形，這些等腰三角形中每兩個都相似，而且後一等腰三角形，都規定是由其前面的等腰三角形挖掉一個等腰三角形而得的。例如： $\triangle BCD$ 是由 $\triangle ABC$ 挖掉等腰三角形 $\triangle DAB$ 而得的。

圖六

此時，上列等腰三角形的頂點 A、B、C、D、E、F、G、H、……等會落在一等角螺線上，此等角螺線的極點是 $\overline{AF}$ 與 $\overline{BC}$ 的交點 O。若以 O 為極點、射線 $\overrightarrow{OB}$ 為極軸、且 A 的極坐標為 $(a,\frac{3\pi}{5})$ ，則此等角螺線的極坐標方程式為

$\begin{displaymath} r=\frac{a}{\phi}(\phi^{5/3\pi})^\theta \end{displaymath}$

其 $\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 。此等角螺線也稱為黃金螺線。

此等角螺線也扯上 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ ，其理由如下：上述的相似等腰三角形 ABC 等，可證明其頂角為 36°，而底角為 72°，所以， $\overline{AB}: \overline{BC} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 。此種三角形稱為黃金三角形。

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編輯：黃信元

最後修改日期：2/17/2002