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你知道超越數嗎? (第 8 頁)

林聰源

 

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.原載於數學傳播第二卷第一期
.作者當時任教於清大數學系

註釋
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Weierstrass 是分析的鼻祖與重臣之一,許多超越性理論經他的手變得更完美,更易於為人所瞭解,更顯出其重點之所在,比如我們今日在一般教科書上所看到的有關 e 和 π 的超越性的證明有些就是 Weierstrass 的傑作。除此之外,他也有下列獨創的成果(發表於1855年):

定理: 設 $\alpha_1, \alpha_2$,…,$\alpha_n$ 為相異代數數,則 $e^{\alpha_1},e^{\alpha_2}$,…,$e^{\alpha_n}$ 在體 A 上是線性無關的。

此定理涵蓋了許多以前的結果於一爐:

(1) 取 $\alpha_1=0$, $\alpha_2=\alpha$, 則 $e^{\alpha_1}=e^0$, $e^{\alpha_2}=e^{\alpha}$ 由此定理即得 1 與 $e^\alpha$ 在體 A 上線性無關,也就是說 $e^\alpha$ 是超越數,此即庚節(1)。特別地,取 $\alpha=1$ 則得 Hermite 定理。

(2) 設 $\beta \neq 0,1$ 為代數數, $\alpha =\log{\beta}$。 若 α 為代數數,則取 $\alpha_1=0$, $\alpha_2=\alpha$,由此定理可知 $\beta=e^{\alpha}\in \mathbf{A}$ 這是矛盾,故得庚節(1)。

(3) 設 π 為代數數,則取 $\alpha_1=0$, $\alpha_2=\pi i$ 由此定理可知 $e^{\pi i} \not\in \mathbf{A}$ 但有 Euler 痤它 $e^{i\pi}=-1$ 這是矛盾,故得 Lindemann 定理。

   

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編輯:朱安強 最後修改日期:4/26/2002