本文最後以兩個故事做為結束。

(1) Hilbert 提出這問題之後，有一次在演講中又提到它，那時(1919) Siegel 剛進 Göttingen，還是年輕的學生，當天也在座聽到 Hilbert 說如下的話： 「……這第七問題是非常難的，短期內恐不易解決，打個比喻說吧！我在有生之年也許有幸可以看到 Riemann hypothesis （關於 Riemann Zeta 函數零點之分佈情形）之解決；在座聽眾之中有人可能可以活到眼目睹 Fermat 最後問題（方程式 xⁿ+yⁿ=zⁿ 當 時沒有整數解）之解決；但今天參加這集會的所有人沒有一個可能看到第七問題的答案！」事實並非如此，當 Hilbert 在1943年初壽終的時候，第七問題已經解決了有九年之久，而其他兩個難題直到今天還沒有人摸到頭緒。

Siegel 對第七問題的解決有很大的貢獻，前文提到的 Schneider 就是他的學生之一。Siegel 戰後在 Princeton 高等研究所寫了一本書《超越數》，網羅那時這方面進展的成果，在某一頁上他還特地舉出上面這段故事告誡我們說，在一個問題沒有被解決之前，即使是一個卓越的數學家，也不易清楚這問題到底有多難。

(2)在古希臘時代，畢氏定理沒有發現之前，數學家們只知道有有理數，也只談有理數，他們以為所有的線段都是可以公度的，也就是說，任意二線段長度之比恆為二整數之比，亦即比值為一有理數。畢氏造一等腰直角三角形，若腰為單位長度斜邊 為一無理數，因而斜邊與腰不可公度，這個發現震撼了當時的數學界，整個的幾何理論為之動搖，彷彿數學的末日來臨一般。事實上，數學的歷史沒有因為一個定理的發現而告終，反而覺悟到以前認定之錯誤而尋覓到完整的新觀念取而代之，使數學走向更光明的境界。Hilbert 第七問題的出現和畢氏定理有著異曲同工之妙，因為在下面我們將證明此問題可導出「有二線段其長度比為超越數」之事實：

定理：
一等腰三角形若其底角與頂角之比為一無理代數數，則底邊與腰之比為一超越數。

證明：
由正弦定律

由假設 為一無理代數數，則由

可知 亦為一無理代數數，由第七問題即可導得 為一超越數， 但

其中 ， 因此 及 均為超越數 （若 為代數數，則 亦為代數數），這就證明了 是超越數的結論。

有人讀了這麼多之後不禁要發問：「為什麼要研究超越數呢？」我只想說出我的感覺，當你步向一個光輝耀目的遠景的時候，路旁必也有無數美麗的鮮花供路人瀏覽。