你知道超越數嗎？ (第 6 頁)

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你知道超越數嗎？（第 6 頁）

林聰源

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．原載於數學傳播第二卷第一期
．作者當時任教於清大數學系

‧註釋
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己

1873年法國人 Hermite 證明了 e 是超越數，這是一件劃時代的貢獻。因為雖然 Liouville 和 Cantor 已經分別用建設性的及理論的方法證明了超越數的存在，但這些都是人為的，而非數學中自然產生的數。所以 Hermite 的結果讓人耳目一新，振奮不已。事實上，近一百年來有關於超越性理論的發展於焉啟幕。Hermite 的證明其想法是很單純的。假設 e 不是超越數，則滿足下列型式之方程式：

$\begin{displaymath} C_0+C_1e+\cdots+C_ne^n=0, \quad C_0,C_1,\cdots,C_n \in \mat... ....1pt{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 209} 0}) \end{displaymath}$

他利用下列特別的多項式：

$\begin{displaymath} \phi(x)=x^{p-1}\frac{[(1-x)(2-x)\cdots(n-x)]^p}{(p-1)!} \end{displaymath}$

找到一個正整數 M 以 M 乘原方程式則得

$\begin{displaymath} C_0 M+C_1Me+ \cdots +C_nMe^n=0 \end{displaymath}$

令 $Me^i = M_i +\varepsilon_i$ （i=1,2,3,…,n），其中 $M_i, \varepsilon_i$ 分別為 Meⁱ 之整數部分及小數部分，則得

$\begin{displaymath} (C_0M+C_1M_1+C_2M_2+ \cdots +C_nM_n )+(C_1\varepsilon_1+\cdots C_n \varepsilon_n)=0 \end{displaymath}$

但原先正整數 M 之選取可滿足如下兩條件：

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{eqalign} & (C_0M+C_1M_1+C_2M_2+ \cdots +C_nM_... ...wM0}\fontseries{m}\selectfont \char 252}} \end{eqalign}\right. \end{displaymath}$

因此 $(C_0M+C_1M_1+C_2M_2+ \cdots +C_nM_n ) + (C_1\varepsilon_1+\cdots C_n \varepsilon_n)$ 等於一非零整數加一微小的數，其值不可能是 0。

於是產生矛盾。如果我們注意

$\begin{displaymath} e^1:e^2:\cdots :e^n \doteq \frac{M_1}{M}:\frac{M_2}{M}:\cdots:\frac{M_2}{M} =M_1:M_2:\cdots:M_n \end{displaymath}$

那麼本證法之關鍵即在於發現 $e^1,e^2,\cdots,e^n$ 之比例，在極小的誤差內，等於某些整數 M₁,M₂,…,M_n 之比例，而此組整數無法滿足原設方程式

$\begin{displaymath} C_0M+C_1M_1+\cdots+C_nM_n=0 \end{displaymath}$

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編輯：朱安強

最後修改日期：4/26/2002