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你知道超越數嗎? (第 5 頁)

林聰源

 

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.原載於數學傳播第二卷第一期
.作者當時任教於清大數學系

註釋
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十九世紀末葉,數學上最令人震驚,同時也是最引起爭論的成就是德國人 Cantor 創設的集合論。這是人類首次「冒犯」無窮大這些數,企圖揭開它們的面紗,描繪它們的秩序。由於結果是出奇的美妙,固此立即蒙受兩種完全極端的對待;一派的數學家讚嘆不已,另一派則斥為無稽之談。 前者以 Weierstrass, Hilbert 等人為首,後者以 Brouwer, Weyl 最為有名。 事實上兩派的爭執到今天還沒終了,只是目前數學之急速進展有如百花怒放,讓大家目不暇給,忙個不停,暫時休戰而已。今天我們得心應手享用的一些基本而美好的定理都是建立在集合論上的,無怪乎有人說,現在的數學家是生活在 Cantor 為我們創造的樂園堙C

Cantor 的集合論中,證明了一件相當重大的結果,那就是說,實數的基數大於有理數的基數。由代數數的定義可知所有代數數形成的體的基數和有理數的基數相等,都是可數的集合,因此所有超越數所成的集合的基數是不可數的,也就是說,超越數的個數是無窮多,而且是不可數的,遠比代數數的個數多得多;用一句不太明確的話來說,複數中「幾乎」所有的數都是超越數!

順便一提,集合論中有一個重要而基本的猜測說:實數中之無限集合,必與實數全體或有理數全體二者之一有共同的基數。這就是著名的「連續統假設」,至今仍懸而未決。根據此假設,超越數之全體之基數與實數者相等。

   

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編輯:朱安強 最後修改日期:4/26/2002