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你知道超越數嗎? (第 2 頁)

林聰源

 

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.原載於數學傳播第二卷第一期
.作者當時任教於清大數學系

註釋
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在數學史上第一個引起我們注意,和超越性有關的事蹟是在1737年, 瑞士人 Euler 證明的一個定理:

定理:
e,自然對數的底,是一無理數。

證明:
由對數的定義以分析方法可導出:

\begin{displaymath}
e= \lim_{n \rightarrow \infty}
(1+\frac{1}{n})^n=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}
\end{displaymath}

今就 e 之無窮級數表法,將 e 寫成「部分和」Sn 及「尾巴級數」rn 的和, 即

\begin{displaymath}
e=s_n +r_n,\quad n=1,2,\cdots
\end{displaymath}

其中

\begin{displaymath}
s_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!},\quad r_n=\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{k!}
\end{displaymath}

由於

\begin{eqnarray*}
r_n&=& \frac{1}{(n+1)!}(1+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{(n+2)(n+3)}+ ...
...minus0.1pt{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 13}}
\end{eqnarray*}


n=1 時,e=s1+r1s1=2$r_1 < \frac{e-1}{2}$ 故得

\begin{displaymath}
e < 2+ \frac{e-1}{2}
\end{displaymath}

由此式可解出 e<3(事實上 $e=2.718\cdots$),因此

\begin{displaymath}
0 < r_n<\frac{2}{(n+1)!},\quad n=1,2, \cdots
\end{displaymath}

an=n!snbn=n!rnan 為正整數,而

\begin{displaymath}
0<b_n<\frac{2}{n+1}\leq1,\quad n=1,2, \cdots
\end{displaymath}

由等式 n!e=an+bn,右式非為整數,故 n!e 非整數, 明顯地 ne 也不可能是整數了,此一事實對所有正整數 n 都成立,因此 e 不是有理數,證明完畢。

Euler 不僅是一位想法很多,也很會算的數學家,他還是一個善於創造符號的人;譬如說 $e,\pi$$\log$ 都是由他首創,一直通行至今的。他所完成的工作中,最為人所樂道,而且也是流傳最廣的, 是下列所謂的 Euler 恆等式:

\begin{displaymath}
e^{i \pi}+1=0
\end{displaymath}

此式值得我們注意一下,它包含五個數,即 $e,\pi,i,1,0$,以及兩個符號 +,=, 這五個數是數學中最重的五個數,而這兩個符號也是算術中最基本的符號。 在數學中,像這麼漂亮而典雅的式子,恐怕很難找到了。 在以後的章節堭N會用上它,而發現它是很重要的一個式子。

Euler 本人對 $e,\pi$$\log_a{b}=\frac{\log b}{\log a}$$a,b \in \mathbf{Q}$a,b > 1) 這些數之研究不遺餘力,1750年他提出如下猜測:

Euler 猜測
$e,\pi$$\log_a{b}$ 均為超越數 註1

   

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編輯:朱安強 最後修改日期:4/26/2002