1844年 Liouville 發現代數數以有理數逼近時,不能超過某種限度,
他的結果如下:
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- 定理:
設 ξ 為一無理代數數,其次數為 ,
則存在一正常數 c 使不等式
對所有有理數 , (q>0) 成立。
根據這個定理,馬上有如下結論:
系:設
為一有理數序列,
為一實數序列,且
滿足所有不等式
則 ξ 為一超越數。
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- 證明:
設其不然,則 ξ 為一代數數,令其次數為 s,
則根據上定理之結論與本定理之假設,下列不等式
對所有的 n=1,2,… 成立。此即蘊涵
化簡即得
;但另方面當
而 qn 大於 1 時,
故而
。
這就導出一個矛盾,因此 ξ 為超越數,證明完畢。
利用此系可製造出無數之超越數,此種超越數特稱為 Liouville 氏數。
以下即為一例。
[例]
為一 Liouville 氏數。
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- 證明:
由無窮級數之比較審斂法,因
故
因之
為一收斂級數,設其部分和
由觀察可知 qn=10n!,另方面
故可取 sn=n,代入系中,而知 ξ 為一超越數。
例中的 ξ 以小數點表示時,呈 0.110001000 之型,1 之出現越來越稀疏,此現象可看成是超越數的充分條件。
如果以 2 易 10 而考慮
時,也得一超越數。
有人證過下列由正整數排列所得之小數亦為一超越數:
Liouville 的這些定理後來經過不少數學家的進一步研究而加以改進,現在我們稱這種理論為「超越測度理論」。
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