你知道超越數嗎？ (第 3 頁)

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你知道超越數嗎？（第 3 頁）

林聰源

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．原載於數學傳播第二卷第一期
．作者當時任教於清大數學系

‧註釋
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丙

接著在1770年法國人 Lambert（即 D'Alembert）證明了 π 是無理數。證法之一是考慮積分

$\begin{displaymath} I_n(\alpha)=\int_{-1}^{1}(1-x^2)^n\cos{\alpha x}dx, \quad n=... ...s0.1pt{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 241}}) \end{displaymath}$

利用部分積分可導出遞迴公式

$\begin{displaymath} I_n(\alpha)=\frac{2n(n-1)}{\alpha^2}I_{n-1}-\frac{4n(n-1)}{\alpha^2}I_{n-2}\quad n \geq2 \end{displaymath}$

簡單的計算顯示

$\begin{displaymath} I_0=\frac{2}{\alpha}\sin{\alpha},\quad I_1=\frac{4\sin{\alpha}}{\alpha^3}- \frac{4\cos{\alpha}}{\alpha^2} \end{displaymath}$

代入上式即得

$\begin{displaymath} \alpha^{2n+1}I_n(\alpha)=n!(P(\alpha)\cos{\alpha}+Q(\alpha)\sin{\alpha}) \end{displaymath}$

其中 $P(\alpha)$ 與 $Q(\alpha)$ 為 α 之多項式而其次數皆小於 2n+1，若 π 為有理數，設其為 $\pi=\frac{a}{b}$ ，其中 a 為整數，b 為正整數，令

$\begin{displaymath} J_n=\frac{a^{2n+1}I_n(\frac{\pi}{2})}{n!} \qquad n=0,1,2, \cdots \end{displaymath}$

則一方面經由簡化可知

$\begin{displaymath} J_n = \frac{a^{2+1}\cdot (\frac{a}{2b})^{-2n-1} \cdot n! Q(\frac{a}{2b}) }{n!} = (2b)^{2n+1} Q(\frac{a}{2b}) \end{displaymath}$

為一整數，而且

$\begin{displaymath} I_n(\frac{\pi}{2}) = \int_{-1}^{1}(1-x^2)^n \cos{(\frac{\pi}{2}x)}dx > 0 \end{displaymath}$

（因為被積分函數之中，(1-x²)ⁿ>0， $\cos{\frac{\pi}{2}x}dx>0$ ， $\forall -1 <x <1$ ），故 J_n 為非零整數，( $n=0,1,2,\cdots$ )。另方面由估計值

$\begin{eqnarray*} \vert J_n\vert &\leq& \frac{\vert a\vert^{2n+1}}{n!}\cdot \in... ...t\leq1 , \forall -1<x<1) \\ &=& \frac{C\vert a\vert^{2n+1}}{n!} \end{eqnarray*}$

其中 C 表積分 $\int_{-1}^{1} \cos{(\frac{\pi}{2}x)}dx$ 之值，是一與 n 無關之常數。現在我們讓 n 趨近正無窮大，則由簡單的極限理論

$\begin{displaymath} \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{C\vert a\vert^{2n+1}}{n!}=0... ...ies{m}\selectfont \char 93}} \lim_{n\rightarrow \infty} J_n =0 \end{displaymath}$

這就與 J_n 為非零整數之事實相互矛盾，因此 π 為有理數之假設是荒謬的，證明完畢。

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編輯：朱安強

最後修改日期：4/26/2002