蔡聰明

前言 一、 二、 三、 四、 五、 六、

前言

歐氏幾何的創立，是數學史也是人類文明史上破天荒的大事。古埃及與巴比倫的直觀、個案的經驗幾何知識，傳到古希臘，Thales 首先嘗試用「邏輯」加以組織。接著是畢氏學派，採用原子論 (atomism) 的觀點，將幾何建立在算術基礎上面。畢氏學派主張：點是幾何的「原子」，其長度 d > 0，因而任何兩線段皆可共度。由此證明了長方形的面積公式、畢氏定理與相似三角形基本定理。不幸的是，畢氏的門徒 Hippasus 發現了不可共度線段，震垮了畢氏學派的幾何學。後來雖有 Eudoxus 的比例論來補救，但歐氏已不走畢氏的舊路，改採公理化的手法，以幾何公理來建立幾何。這一段歷史非常珍貴，不論是在知識論、科學哲學或教育上，都深具啟發性。

當代著名的科學哲學家拉卡托斯（I. Lakatos, 1922∼1974），在《論分析與綜合方法》一文中說得好（詳見參考資料 1）：

我認為對於希臘幾何所能做的最精采工作，是分析歐氏之前的幾何 (pre-Euclidean geometry) 及其在產生歐氏演繹系統的過程中所扮演的角色。大部分的歐氏幾何，在歐氏 (Euclid) 給出公理與定義（西元前300年）之前已經存在，正如數論在 Peano 給自然數作出公理化（1889年）之前、微積分在實數系建構（1870年，Dedekind、Cantor、Meray、Heine、Weierstrass 等人的工作）之前、機率論在 Kolmogorov 公理化（1933年）之前，都已經存在。問題在於為何需要公理化？公理化對於數學的進一步發展有什麼幫助？

在數學史上，歐氏幾何是第一個公理化的知識系統，由定義與公理出發，推導出一系列的定理。我們讀歐氏幾何都接受這樣的推展程序。

然而，公理是怎麼得來的呢？為什麼要選取這樣的公理？公理並不是天經地義的。顯然，它們都是經過長期的試誤 (trial and error) 才演化出來的。公理有如憲法，都是人們制訂出來的，可以挑戰，更可以修訂或重訂。這是歐氏幾何產生出非歐幾何 (non-Euclidean geometry)，牛頓力學被修正成為相對論與量子力學，導致科學進展的理由。

本文我們嘗試對歐氏之前的幾何學，作合理的重建工作 (rational reconstruction)，最主要是重建畢氏學派的幾何研究綱領 (the research program of geometry)，以及歐氏做出歐氏幾何的分析過程。畢氏這一工作雖然沒有完全成功，但是卻可比美於他為了追尋音律而用單弦琴 (monochord) 所作的第一個物理實驗（見參考資料 18），並且也為歐氏幾何的誕生鋪路。成功是踏著前人的失敗走過來的。