畢氏學派為幾何建立基礎的成果似乎是豐碩的。然而，好景不常，畢氏學派的天空飄來了烏雲，暴風雨就要發生。畢氏學派發現：正四邊形與正五邊形，其邊與對角線都是不可共度的 (incommensurable)，亦即在圖二十九中，AB 與 AC 不可共度。

圖二十九

如何證明呢？對於正四邊形的情形，由畢氏定理知

對於正五邊形的情形，也不難推知

因此我們只需證明 與 都不是有理數，就可以否定掉 AC 與 AE 之可共度性。

下面我們僅做「 不是有理數」之證明。據筆者所知，這至少有15種證法，基本上是歸謬法（Hardy 所稱的棄局戰術）的各種主題變奏，其中有費瑪的無窮遞降法 (method of infinite descent)、畢氏弄石法 (the pebble method)、良序原理 (the well-ordering principle)，以及兩種傳統教科書常見的證法等。每一種方法都各有千秋與巧妙。

讓我們來介紹有趣的畢氏弄石法。

定理九： 不是有理數。

我們要證明：不存在自然數 m , n 滿足 n² = 2m²，亦即對任意自然數 m , n，恆有 。這個算術的命題，應該有算術的證明才對。

畢氏學派對於數有很奇特的看法，也們將數用小石子排列成各種形狀，例如 10 粒小石子可以排成三角形或矩形（見圖三十）：

圖三十

叫做三角形數或矩形數，因此，數都賦有形狀，從而有形數 (figurate numbers) 之稱。有些數可以排成正方形，並且有些正方形數又可重排成兩個小正方形數之和，例如圖三十一。

圖三十一

對畢氏學派而言，數與形是一家的：萬有都是整數，每個整數都有「形」。

「算」或「calculus」的古字，在西方相當於 Pebble，意指「弄石」（今日醫學上 calculus 是指「結石」，仍然保留古意）；在東方是筭，意指「弄竹」。對古人而言，算術就是擺弄小石子或竹簽（疇算）以作計算的技術。因此，用小石子或竹簽來代表數是很自然的事。東方盛產竹子，就地取材，順應自然。

n²=2m² 是說，一個正方形數可以重排成兩個相同的較小的正方形數。這可以辦得到嗎？我們要證明辦不到。

我們作幾個簡單的觀察與嘗試，考慮 7²=49 與 5²+5²=50 的圖形（見圖三十二）：

圖三十二

圖三十三

顯然 。如果 A 可以重排成兩個相同正方形 B 與 C 之和，那麼 A 扣掉 B，所剩的 ，必可排成 C，如圖三十四：

圖三十四

亦即零頭的小石子恰可填滿 x 之正方形。記 x 之正方形為 A₁，兩個相同的零頭正方形為 B₁ 與 C₁。注意到，B₁ 與 C₁ 必為正方形（見圖三十五）。

圖三十五

定理十：（畢氏弄石定理）
若正方形數 A 可重排成兩個相同的小正方形 B 與 C，則必可將某個較小正方形數 A₁ 重排成兩個相同的且更小的正方形 B₁ 與C₁。

按此要領不斷做下去，會沒完沒了，終究出現矛盾。換個方式來說，若 ，則 。今因 ，且 ，溯源而上，必可到達 ，乃至到達：任意正方形數不能表達成兩個相同較小正方形數之和。這就證明了 不是有理數。我們猜測，這才是喜好「弄石」的畢氏學派之「原版」證法。

兩千多年後，費瑪將此法精煉成「無窮遞降法」，變成一種證明的利器。

不可共度線段的發現，意義非凡，有危機也有轉機。

(i) 危機：震垮了畢氏學派的幾何學研究綱領。「無窮步驟」與「無理數」撲面而來，躲都躲不掉。他們恐懼，堅持天機不可洩漏。這就是數學史上所謂的「數學的第一次危機」或「希臘人對無窮的恐懼」(the Greek horror of the infinite) 或「希臘天空中的暴風雨」(the storms in Greek Heavens)。有一位門徒 Hippasus 因為洩漏天機而被謀殺於海上，這就是所謂的「邏輯醜聞」(the logical scandal) 事件。

(ii) 轉機：希臘人首次發現到幾何線段不是離散的，而是連續的，線段是由不具有長度的點所組成的。他們真實地面對「無窮」與「連續統」(continuum) 這兩個深奧無比的寶藏。一代一代的數學家都曾受到它們的困惑，但是又都從中挖掘到珍珠，開拓出數學的新天地。

畢氏學派建立在「可共度」上面的比例論、長方形面積公式、相似三角形基本定理、「萬有皆整數」都受到了空前的挑戰，也可以說是對整個希臘文明的挑戰。希臘人費了約300年的時間才成功地回應這個挑戰──優多諸斯（Eudoxus, 西元前408∼355）創立比例論（解決不可共度的情形）以及歐幾里得（Euclid, 西元前300）建立公理化的歐氏幾何。前者是修補漏洞；後者是另起爐灶，重建幾何學。

算術（數論）、音樂、幾何學與天文學是畢氏學派所推行的四藝學問。我們說明如下。

(A)數的分類

(i)奇數與偶數

(ii)形數的概念

三角形數：由自然數之和所形成的數

正方形數：奇數之和的數，例如

五邊形數：如下圖之數

用「小石子」將抽象的數加以圖解，得到「形數」，這很方便於發現一些公式，例如

過剩數 (the abundant numbers)：一個數小於其全部的真因數之和。

不足數 (the deficient numbers)：一個數大於其全部的真因數之和。

(iv)親和數 (the amicable numbers)：兩個數 a, b 為親和數，如果 a, b 分別等於 b 或 a 的所有真因數之和，例如

(B) 畢氏三元數 (Pythagorean triples)

三個整數，若構成直角三角形的三邊，就叫做「畢氏三元數」。換言之，x²+y² = z² 的正整數解就是畢氏三元數。畢氏給出如下的公式：

(C)平均的理論

設 a, b 為兩正數，則

分別叫做算術平均、幾何平均與調和平均，它們具有 的性質。等號成立 。

(D)質數以及兩數互質的概念

畢氏用單弦琴(monochord)作實驗，定出畢氏音律：

音階：C,D,E,F,G,A,B,C'

弦長：

這是歷史上有記載的第一次物理實驗。

畢氏也是一位音樂家。他曾說過：「哲學是最上乘的音樂。」據說畢氏臨終之言是「勿忘勤弄單弦琴！」

(i) 畢氏定理。

(ii) 三角形三內角和等於一平角及其證明。

(iii) 黃金分割之作圖：將一直線段分割成 a,b 兩段，使得 a+b :a=a:b，則稱為黃金分割。由此可以作出正五邊形。注意：黃金分割之名是後人給的。

(iv) 用同樣大小的正多邊形舖設地板，只能是正三角形、正方形以及正六邊形三種情形。

(v) 正多面體恰好只有五種。

(vi) 正方形或正五邊形的一邊及其對角線不可共度。

(vii) 給定甲、乙兩個多邊形，求作一個多邊形使其面積等於甲並且跟乙相似。

(viii) 長方形的面積公式與相似三角形基本定理的不完全證明（只證可共度的情形）。

(i)畢氏是最先知道行星與地球是「球」形的人，而且沿著圓形軌道運行，因為圓與球分別是平面與空間中最完美的圖形。他可能是觀測到月蝕時，地球投射在月球上的影子是圓形的，因而推斷地球是「球」形的。

(ii)畢氏也是最先知道早晨的啟明星就是傍晚的太白金星的人之一。

(iii)宇宙最外層是固定在球面上的星星，往內逐次是五個行星，太陽與月亮，然後才是地球，再加上「中心之火」(the central fire)與「反地球」(the counter earth)，總共有10個星球，最後兩者是看不見的，

(iv)星球在空中運行時，會發出聲音。距離地球越遠的星球運動得越快，聲音也越高，於是行星運動就合奏出「星球的音樂」。

總之，畢氏學派的數（算術、數論）與形（幾何學）是一家的，並且數學與科學（音樂與天文學）亦然，他們「為追究學問而學問」 (to pursue for its own sake)，絕不把實利放在眼裡。在幾何學中，畢氏引了「公理」(axiom) 與「證明」(proof) 的概念。今日我們熟悉的術語，如「數學」、「理論」與「哲學」（愛智之學）也都是畢氏學派的貢獻。

畢氏學派嘗試為幾何建立基礎，但由於不可共度線段的出現而告失敗。這對於希臘文明來說，好像經歷了一場大地震，而且餘震一波接著一波。古希臘人如何回應這個挑戰呢？

本段我們先來簡述季諾 (Zeno)、柏拉圖與亞里斯多德三個人的回應。

由於「無窮可分」（infinitely divisible, 連續派）存在有不易克服的難題，而畢氏學派較直觀經驗的「有窮可分」（finitely divisible, 離散派）也導致矛盾。這真是一個進退維谷的困境。

在這種風雨飄搖的局面下，哲學家季諾（約西元前450年，生平不詳）進一步發明四個詭論 (paradox)，用來論證運動的不可能性。他巧妙地運用「無窮」（無窮大、無窮小與連續性）來造詭論，以彰顯不論是連續派或離散派都具有矛盾性。這四個詭論如下：

(i)二分法詭論(The Dichotomy Paradox)
如果單位長的線段可作無窮步驟分割，那麼運動 (motion) 是不可能發生的，因為一個人要從右端點走到左端點，必須走過中點， 點， 點，……沒完沒了，永遠到達不了左端點。

(ii)阿奇里斯與烏龜的詭論(The Paradox of Achilles and Tortoise)
只要讓烏龜在飛毛腿阿奇里斯（Achilles，荷馬史詩中之希臘英雄）之前一段距離，那麼阿奇里斯就永遠追不上烏龜。因為每當他追到烏龜原先的位置時，烏龜又向前走了某段距離，所以烏龜永遠在他的前面。

(iii)飛矢的詭論(The Paradox of Arrow)
如果時間是由不可分割的「原子時刻」所組成的，那麼射出的箭是不動的。因為當一個物體在給定的時刻都占有自己的空間位置時，它是靜止不動的，而射出的箭正好如此，所以飛矢不動。

(iv)運動場的詭論 (The Paradox of the Stadium)
在運動場上有兩隊人，人數相同，並且等間距排列，如圖三十六中的 B₆, ……, B₁ 與 C₁, …… , C₆，兩隊人相向以等速率作運動。

圖三十六

在某個時刻 B 與 C 兩隊人完全在A之下，見圖三十七。因此，在相同時間內 B₁ 通過三個 A，也通過六個 C。由於 A,B,C 的間距皆相等，六個 C 就是六個 A，故 B₁ 通過六個 A 與三個 A 費去相同的時間，所以任何一段時間就等於其半，並且任何量也等於其兩倍。

圖三十六

問題：破解季諾第二個詭論的似是而非。

季諾造這些詭論的目的何在，歷來有許多爭論。有人認為是為了反對「多」與「變化」，以維護他的師父 Parmenides（約紀元前五世紀）的萬有是「一」與「不變」之學說。從畢氏學派失敗的背景來觀察，季諾是對於離散性、連續性、無窮大、無窮小等詭譎概念作詰疑。千古以來可以說是切中數學的核心。羅素（見參考資料 7）稱讚道：

「幾乎所有從季諾時代到今日所建構出的有關時間、空間與無窮的理論，都可以在季諾的論證裡找到背景基礎。」

柏拉圖深知畢氏學派發現不可共度線段的重要性，他說：

「不知道正方形的邊與對角線是不可共度的人，實在枉費生而為人。 (He is unworthy of the name of man who does not know that the diagonal of a square incommensurable with its side.)」

他還將它改述成倍平方問題：「給一個正方形，求作另一個正方形使其面積為兩倍大。」這是其師蘇格拉底用來教導未受過教育的男童僕之範例，以展示蘇格拉底的啟發式教學法：教師應扮演接生婆 (midwife) 的角色，只提出各式各樣的問題，而不給答案，答案必須由學生自己生出來。（參見柏拉圖對話錄 Meno 篇）

柏拉圖在雅典創辦了世界上第一所學院 (Platonic Academy)，以探究宇宙奧秘為宗旨，思辯萬有的全局為職志。他對於數學在教育上的功能推崇備至，認為研究數學可以使人從變化不居的表象 (appearance) 提升到永恆的「理念與形的世界」(the world of ideas and forms)，抵達最後的真實。

他說：

哲學家必須學習算術，因為他必須從變化之海上升起， 以掌握真正的存有(true being)。

他又說：

因為算術（意指數論）有很偉大的飛躍效果，它逼使我們的心靈去作關於抽象數的推理，引領靈魂對真正的存有作沈思。

另外，他也很看重幾何，他說：

幾何很重要因為它研究的是永恆的、不變的對象，所以可以提升心靈到達真正存有的境界。

在柏拉圖學院的門口甚至還掛著一個牌子說：

柏拉圖學院對數學與科學，提出了當時兩個迫切的問題：

(i) 如何修補畢氏學派的研究綱領或重建幾何學？

(ii) 如何利用等速率圓周運動來描述行星的運動軌道？

後者是天文學的問題。原先以為行星是按等速率圓周繞地球運動，後來仔細觀察才發現有的行星忽前忽後地迴繞。但是古希臘人認為等速率圓周運動是最完美的，捨不得放棄，因此才有第(ii)個問題之提出。

這兩個問題由柏拉圖學院的兩位學生優多諸斯與歐幾里得解決。畢氏學派對幾何命題只證明了可共度的情形：對於不可共度的情形，優多諸斯提出了巧妙的比例論，才加以克服（收集在歐氏《幾何原本》的第五冊）。兩千年後戴德金 (Dedekind) 建構實數系就是取自優多諸斯比例論的想法。對於問題(ii)，優多諸斯利用26個圓，作各種圓上滾圓的運動，得到周轉圓 (epicycles)，以保住行星的運動 (save phenomena)。其實，這就是作三角多項式的逼近，即作傅力葉分析 (Fourier Analysis)。另外，歐氏新建的幾何已不走畢氏「幾何原子論」之老路。

「不以規矩不能成方圓」，柏拉圖提出了「尺規作圖問題」。規定只能用沒有刻度的直尺與圓規，並且在有窮步驟之內（生有涯，不能做無涯之事業），作出幾何圖形．這叫做「柏拉圖規矩」。在此規矩之下．兩等分一個角以及將一個正方形放大成兩倍（倍平方問題）都很容易作圖。但是古老的幾何三大難題，古希臘人卻一直都做不出來：

(i)三等分角問題：將任意一個角分成三等分；

(ii)倍立方問題：將一個立方體放大成兩倍；

(iii)方圓問題：作一正方形使其面積等於已知圓的面積。

經過兩千多年的努力，數學家利用代數方法終於證明了三大難題都無解。否定的解決也是解決之道。

畢氏學派直觀而大膽地假設點的長度 d>0，遭致失敗。這意味著點只有位置沒有大小，即其長度 d=0。同理，直線只有長度而沒有寬度。這逼使得點並不生存於現實世界中，因為在現實世界中不論用多細的筆來畫點與線，點都有大小，線都有寬度。因此，波利亞 (G. Polya) 說：

幾何學就是利用不正確的圖形，作正確推理的一種藝術。 (Geometry is the art of correct reasoning on incorrect figures.)

那麼點、線生存在那裡？拍拉圖創立了「理念與形」的世界來安置它們，這是柏拉圖在哲學上的一大成就。柏拉圖說：

哲學家是所有時間與所有存在的博觀者。 (The philosopher is the spectator of all time and all existance.)

他認為數學是攀登哲學智慧階梯的最重要訓練，他的「真理之路」(the way of truth) 不能缺少數學。

在建立數學真理的過程中，通常是先有「發現」，接著才用「證明」加以鞏固（其他領域的學問，往往缺少「證明」，故無法達到像數學這麼嚴謹的境界）。作為一般的發現與證明方法柏拉圖提出了「分析與綜合法」(the method of Analysis and Synthesis)。有的數學史家主張，這是柏拉圖首創的方法。

「分析與綜合」方法在數學中有許多層意思，以各種面貌來出現。另外，還有種種引申出來的「弦外之音」。

(i)本義的分析與綜合法： 將一個對象（事物或事理）分割（或分解）為組成部分，這是分析（或解析）；再將組成部分合併起來，就是綜合；這兩個程序是一體的兩面，必須配合著使用。例如，將一個線段分割到至微的點，再由點併成線段；將物質分割到原子，再由原子組成物質。這些都是本義的分析與綜合的展現。

(ii)幾何的分析與綜合法： 幾何學中的命題都是由前提 P 得到結論 Q 之形式：P → Q。 從前提到結論之間的邏輯通路，如何看出來呢？

所謂分析法就是假設結論 Q 已得到，然後由 Q 出發作逆溯推演，直到抵達前提 P 為止。我們不妨稱之為「倒行逆施法」。這又可分成下面兩種形式：

(a)為了得到 Q，只需得到 A；為了得到 A，只需 B，……逐步下去。如果最後到達 P，那麼「綜合」回來由 P 到 Q 的邏輯通路就找到，從而命題「P → Q」就得證了。

(b)由 Q 推導出 R，由 R 推導出 S，……。如果最後抵達 P 並且每一步皆可逆，那麼「綜合」回來由 P 就可以推導出 Q。如果其中至少有一步不可逆，那麼就無法從 P 推導出 Q。

當分析做完後，找到了邏輯通路，那麼沿著邏輯通路逆著分析的方向，從前提走到結論，這就叫做綜合。先有分析才有綜合。分析法是探索性的投石問路、發現的，綜合法則是嚴密的推演、證明的。

值得特別注意的是：在(b)形式之分析法中，如果由 Q 推導出 R, S,……的過程，其中有一個出現了矛盾，那麼 Q 就被否定了，這叫做歸謬法 (reduction ad absurdum)。因此，歸謬法是分析法之下的一個副產品。

另外，我們還可以從 P 順流推演幾步並且從 Q 逆溯推演幾步，在半途互相會合。

到現在為止，我們可以這樣說：線段是連續的，由點所組成，點的長度為 0。線段含有無窮多點，可作無窮步驟的分割。但是點的長度與線段的長度之間的連結，仍然是一個困惑。一個線段切成五小段，那麼五小段之長加起來就是原線段之長，這很容易了解。然而，由沒有長度的點累積成有長度的線段，這種局部（微觀）與大域（宏觀）之間的鴻溝卻難於說清楚。因此，亞里斯多德說：

線段不是由點組成的。(A line is not made up of points.)

這意指線段之長，不是由點之長累積出來的。

同理，動線成面，而線只有長度沒有寬度，所以面積並不是由線的面積累積而成的。這真是詭譎！在微積分發展史上，這造成早期求面積問題的困境。後來人們想出各種變通的辦法，如窮盡法、無窮小法、不可分割法、動態窮盡法等等，直到牛頓與萊布尼茲 (Leibniz) 的微分法出現，才有系統地解決一切求積（長度、面積、體積）問題。這是另一個偉大的發現故事。

亞里斯多德是邏輯學的祖師爺。邏輯學要探究思想的規律與推理的法則，這是他從數學開發出來的成果，主要有三段論法 (syllogism)：

凡是人都會死，
蘇格拉底是人，
───────
所以蘇格拉底會死。

矛盾律 (the law of contradiction)：即一個命題不可能同時真與假；以及排中律 (the law of excluded middle)：即一個命題只有真或假。這些是數學中的間接證法 (indirect proof) 之依據。他提倡演繹法，關切演繹系統之構成，A 為何成立？因為 B；而B為何成立？因為 C；……這樣會無止境地回溯 (regress) 下去，無法完成 A 的證明。因此要講究證明就必須有個直出發點，叫做公理 (axioms) 或第一原理。他認為公理是顯明的 (obvious)，每個人都能接受而不必證明。要作推理，除了公理之外，還需要一些定義 (definitions)、假設 (hypothesis) 以及一般公理（postulates, 適用於所有科學，例如等量加法公理）。

柏拉圖與亞里斯多德雖然都不是數學家，他們都是「數學家的製造者」(the maker of mathematicians)。柏拉圖提供方法，亞里斯多德供演繹架構，還有許多數學家累積了更多的幾何知識，歐氏幾何已呼之欲出。

哲學家叔本華（Schopenhauer, 1788∼1860）說：

一個人之所以成為哲學家，是因為他被某個深刻的問題所困擾，並且又能夠找到一條解決的出路。

古希臘人被「無窮」所困擾，最後找到了歐氏幾何的出路。