蔡聰明

萬有皆整數 畢氏三元數 費瑪最後定理的誕生 大師中的大師 費瑪最後定理的圖形表現 1990年之前的進展 十萬馬克的懸賞 庫麥爾之後的主要進展

費瑪最後定理，彷彿是希臘神話中薛西弗斯推動的大石頭，三百多年來，點燃了許多數學家的雄心壯志，結果都發現有漏洞，甚至證明是錯誤的，於是大石頭又滾回原點。費瑪最後定理是何方神聖?為何這麼吸引人?

偉大數學家高斯(Gauss,1564∼1643)說:

數學是科學的女王，而數論是數學的女王。

在數論中，有些猜測並不涉及高深概念，敘述起來簡單易懂，但是卻難於證明。 例如，費瑪最後定理 (Fermat's Last Theorem) 與 哥德巴赫猜測 (Goldbach conjecture) 就是最著名的兩個例子。

費瑪最後定理(1631年)是說: 對於 n=3,4,5,…，方程式

沒有正整數解。

三百多年來，有許多數學家懷著無比的毅力與熱情，嘗試去證明這個定理。但是，這個定理有如銅牆鐵壁之難於攀登。 在歷史上，有好幾次宣布已經證明了它，可惜很快又發現該證明是錯誤的，有漏洞的或不全的， 包括最近一次美國普林斯頓大學的威利斯 (Wiles) 在1993年六月二十三日所提出的證明 （網站編註：Wiles 的證明在補充後已經是正確的了）。

本文我們要對這個定理的起源與發展，作一個簡要的歷史回顧。首先是逐本探源。

萬有皆整數

畢氏定理是歐氏幾何學的一個精華結果:

畢氏定理：

在直角三角形中，斜邊的平方等於兩股平方之和。如下面圖一所示，設 ，則

x2+y2=z2

(2)

反過來也成立：若(2)式成立，則 ；這叫做畢氏逆定理。

圖一

畢氏定理有許多方向的推廣，內容既豐富又美麗，它甚至是費瑪最後定理的發源地。

問題1：求(2)式的所有正整數解答，即求正整數邊的直角三角形。

這就是所謂畢氏問題(Pythagorean problem)。為什麼會產生這個問題呢?它除了本身有趣之外，還存在著更深刻的理由，且涉及到畢氏學派的哲學觀點。

畢氏學派採用原子論(atomism)的方法來研究幾何學。先分析幾何圖形的結構，得到體、面、線、點;反過來是綜合，動點成線，動線成面，動面成體。點是幾何圖形的原子，最基本的組成要素。

問題2:點有多大?

假設點的長度為d，則d可能有三種情形:

(l)d=0，(2)d >0，(3)d為無窮小。

如果d=0，即點沒有長度，那麼就會產生由沒有長度的點累積成有長度的線段，導致「無中生有」(something out of nothing) 之不可思議，局部 (local) 與大域 (global) 之間存在著不可逾越的鴻溝。對畢氏學派而言，這是一個解不開的困局。

如果 d 為無窮小 (infinitesimal)，那麼什麼是無窮小?這更詭譎而令人困惑。

因此，畢氏學派選擇了d>0，即點雖然很小很小，但是具有一定的長度，像小珠子一樣。線是由許多小珠子串連而成的。換言之，從畢氏學派的眼光來看，世界是離散的(discrete)。從而，任何兩線段a和b都是「可共度的」(commensurable)，即存在共度單位，使得

在「任何兩線段皆可共度」的觀點下，畢氏學派證明了長方形的面積公式、畢氏定理以及相似三角形基本定理，為幾何學奠下算術化的基礎。另一方面，畢氏定理所涉及的直角三角形，三邊長都是有理數，只要乘以分母的公倍數就變成整數邊，因此，畢氏學派想要追尋所有整數邊的直角三角形，乃是順理成章的事情。

但是好景不常，畢氏學派發規了正方形與正五邊形的邊與對角線 ，是不可共度的(incommensurable)，分別等價於以及 為無理數，這震垮了畢氏學派的幾何奠基工作。

一直等到西元前300年，歐幾里得(Euclid)將畢氏學派的「幾何算術化」取向，改為公理化的手法並且以幾何來治幾何，完成了歐氏幾何，成為數學史上第一個數學理論。