費瑪最後定理的嘗試證明，是逐步漸進的。最早費瑪證明n=4的情形，從而對於任何n=4m( )的情形也都證明了。其次，對於n=3且不為4的倍數者，必可分解成 ，其中p為奇質數。如果
up+vp=wp
無正整數解，則特別地，不存在形如
之正整數解，從而xn+yn=zn不存在正整數解。
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圖二
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因此，只需證明 n 為奇質數情形的費瑪最後定理就夠了。
以下我們用FLT表示費瑪最後定理，並且列出它的一些重要進展：
1770年，尤拉證明 n=3 的 FLT。
1816年，法國科學院懸賞證明 FLT。
1820年代，女數學家潔兒蔓（Sophie Germain,1776∼1831）證明：若 n 為奇質數，且2n+1為質數，則xn+yn=zn不存在正整數(x,y,z)使得xyz不可能被n整除。這叫做第一種情形的FLT。第二種FLT是xyz可被n整除的情形，這比較深奧困難。
1825年，狄里克列特(Dirichlet與勒詹德瑞(Legendre)證明 n=5 的 FLT。
1832年，狄里克列特證明n=14的FLT。
1839年，拉梅(Lame)證明n=7的FLT。
1847年，拉梅與柯西(Cauchy)對一般n提出FLT的一個錯誤證明。
1847年，庫麥爾(Kummer)證明:若p為正則質數(regular primes)，則FLT成立。所謂p為正則質數是指p不可整除Bernoulli數
 的分子，其中Bernoulli數由下列幕級數所定義:
利用這個結果，庫麥爾證明:對於p<100，FLT成立，只有p=37,59,67三數是不正則質數，是例外。
1850年，法國科學院第二度懸賞證明FLT。
1856年，在柯西的建議下，法國科學院撤消懸賞，但頒給庫麥爾一個獎章。
1857年，庫麥爾發展複雜的判別準則，以證明不正則質數的FLT，從而證明了p<100的FLT。不過，他的證明含有一些漏洞，後來在1920年代才由范迪佛(Vandiver)補足。
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