蔡聰明

一、引言 二、生平簡述 三、偉大的夢想 四、差和分學：從 Pascal 三角到 Leibniz 三角 五、Leibniz 如何看出微積分學根本定理？ 六、結語

一、引言

Leibniz（1646∼1716）在1714年發表一篇文章叫做 "Historia et origo calculi differentialis"（即《微分學的歷史與根源》），簡述他發明微積分的整個故事，開頭就這樣寫著：

對於值得稱頌的發明，了解其發明的真正根源與想法是很有用的，尤其是面對那些並非偶然的，而是經過深思熟慮而得的發明。展示發明的根源不光只是作為歷史來了解或是鼓舞其他人，更重要的是透過漂亮的發明實例，可以增進吾人發明的藝術，並且發明的方法也可公諸於世。當代最珍貴的發明之一就是一門新的數學分析叫做微分學的誕生。它的內涵已有足夠的解說，但是它的根源與動機卻少為人所知悉。它的發明幾乎已經有四十年的歷史了……。

然後 Leibniz 說出他發明微積分的根源就是差和分學。在他的一生當中，總是不厭其煩地解釋著這件得意的傑作。差和分與微積分之間的類推關係，恆是 Leibniz 思想的核心。從他的眼光看來，兩者在本質上是相同的。一方面，差和分對付的是離散的有限多個有限數；另一方面，微積分對付的是連續地無窮多個無窮小。因此，微積分若少了差和分就好像「Hamlet」劇本少了丹麥王子一樣。