李國偉

方法論的選擇 重差術的淵源 單表的方法論基礎 雙表的率 重差的變化 斜面重差 由天上回到地面 結語

方法論的選擇

拉卡托斯(Imre Lakatos)在〈科學史及其合理重建〉^註1 一文中曾模仿康德的口吻說：「沒有科學史的科學哲學是空洞的，沒有科學哲學的科學史是盲目的。」至於如何把科學史與科學哲學關聯起來，以便削減兩者的空洞性與盲目性，他有如下的建議：

1、科學哲學提供了各種規範性的方法論，使得科學史家可用以重建「內在歷史」，並對客觀知識的增長加以合理的解釋。

2、（規範性解釋過的）歷史可協助評價彼此有競爭性的方法論。

3、歷史的合理重建需要用經驗的（社會－心理的）「外在歷史」加以充實。

這裡所謂的「方法論」，當然不是十七、八世紀所暸解的方法論，那種類似機械條款的法則手冊，只要嚴謹的遵循，問題便可迎刃而解。現代的方法論，或稱之為「發現的邏輯」 (logics of discovery)，通常只是一些約略關聯起來的原則，用以品評既存的理論。對於一般的科學拉卡托斯檢討了四種方法論：歸納主義 (inductivism)， 約定主義 (conventionalism)，方法論的證偽主義 (methodological falsficationism)，科學研究綱領方法論 (methodology of scientific research programmes)。其中第四種是拉卡托斯自己主張的方法論。

在數學史方面，拉卡托斯的名著《Proofs and Refutations-the logic of mathematical discovery》 ^註2 利用合理重建 Descartes-Euler「多面體公式」 的過程，展現了非形式化，半經驗性的數學，是由推測與批判的過程中成長起來。而不是像形式主義認為數學裡不容置疑的真理，是經由一組公理及一系列以邏輯緊密串聯起來的定理導來的。放棄了形式主義乾癟方法論，才能從數學史的活動經歷中，看出既非機械性、又非全無理性的情境邏輯 (situational logic)，而能更正確的掌握數學發展的動態。

近代在形式主義導引下的數學史觀主流，固然是受二十世紀邏輯學的發達，而在元數學 (metamathematics) 上取得豐碩成果的影響。但其思想的根源卻深植在對數學哲學一種教條性的信念中，也就是把歐幾里得用演繹組織幾何知識的方法奉為圭臬。任何方法論既然免不了要品評既存的理論，也就自然夾帶了價值的標準。因此以形式主義影響較重的角度來觀察中國的傳統數學，多半評價不會很好。更不幸的是有些人未曾警惕到方法論並非唯一的，方法論間的競爭其實應求助於合理重建的歷史，反而到中國傳統數學中勉強尋找近乎演繹證明的痕跡，好像想拿來救贖中國古代數學家知性的墮落，其結果往往更加深中國傳統數學沒有邏輯的印象。

這種方法論選擇不當的情形，一直到最近才有了另謀生路的跡象。有趣的是改弦更張的動因卻來自資訊科學，計算機理論的突飛猛進與輝煌成就，提供人們賴以思考的另一類模式。例如李迪討論了〈中國傳統數學的程序性〉 ^註3 ，林力娜 (Karine Chemla) 質問〈Should they read Fortran as if it were English?〉 ^註4 。而本人在〈初探「重差」的內在理路〉^註5 中，也強調若以計算機程序的理論架構考量傳統數學，就會發現演算法則設計的精良，會使其正確性的證明變成極其顯然，而不必見諸明文。

利用程序性的方法論，來暸解與品評中國傳統數學成果，也有它的局限性。對於一組特定的「法」或「術」，這是相當順手的工具。但是對於圍繞某些核心問題，經過長時間與不同數學家逐步發展演化出的一系列「法」與「術」，只用演算法則的程序性是不足以捕捉概念增減流變間的細緻圖像。

拉卡托斯處理非形式數學成長的方法論，也就是證明與反駁交叉運用的方式，可化約為四個自我循環的階段：原始推測，初步思想實驗或論證，發現貌似全盤性的反例，弱化反例重建推測。在這種周而復始的歷程中，數學知識的成長便可相當正確的描述出來。但是這種方法論能運用自如的一個先決條件是，做為對象的歷史階段必須文獻充足。中國古代的數學所留下的只是屈指可數的幾本教科書，以及若干傑出數學家可貴的注文，即使他們當初的思想經歷過類似的往復交戰，但是今日已無法追索兵馬的足跡。因此在評估古代數學成長的方法論上，我們不得不採取比拉卡托斯更溫和靜態的手段。我們用現代的眼光與理論基礎，找出「術」與「術」之間邏輯上的關聯，以及它們所依賴的若干假設，衡量它們消長的因素，希望清理出一條或數條與史實相容而真實性又高的理路。當理路多於一條時，我們的任務不在於勉強判定哪一條是歷史上真正發生的。我們注意的是概念內在的一致性，哪一條理路更能自圓其說，更能經由它的導向獲致豐富的知識發展景觀。本文正是拿重差術作為這種內在理路清理方法的實驗對象，而獲致的初步報告。