雖然在鄭玄釋《周禮》地官保氏九數及張街〈靈憲〉中都曾提到「重差」這個名詞，但是現在所謂重差術是指劉徽《海島算經》中利用多重勾股關係以求高遠的方法。劉徽《九章算術》注的〈自序〉中說：「輒造重差，并為注解，以究古人之意，綴於勾股之下。」 ^註6 到了唐朝初年選定十部算經時，〈重差〉一卷才獨立出來成為《海島算經》。劉徽的〈自序〉差不多有一半的篇幅談及重差，相信重差術的建立必然是他十分得意的創作。至於發明重差術的思想淵源，〈自序〉中也有適當的交待。

圖一

「周官大司徒職，夏至日中立八尺之表，其景尺有五寸，謂之地中。說云，南戴日下萬五千里。夫云爾者，以術推之。」這段話點明了重差術思想肇始於以景度日，也就是圖一的幾何構型上。我們知道劉徽是非常注意推理的，在〈自序〉的前段他曾說：「事類相推，各有攸歸，故枝條雖分而同本榦者，知發其一端而已。」因此我們應掌握重差術肇始的端，再來審視它的流變。

有了以景度日的端之後，是什麼樣的動機推動劉徽繼續發展呢？〈自序〉中接著說：「按九章立四表望遠及因木望山之術，皆端旁互見，無有超邈若斯之類。然則蒼等為術猶未足以博盡群數也。」這可能表示雖然〈九章算術〉中利用多重勾股關係可以解決較複雜的問題，但是劉徽似乎並不滿意因題造術的態度，而希望有一個基本的方式作為繼續發展多重勾股關係的端。

他接著說：「徽尋九數有重差之名，原其指趣乃所以施於此也。凡望極高、測絕深而兼知其遠者必用重差，勾股則必以重差為率，故曰重差。」他找到的端就是建立重差術，不論鄭玄、張衡所謂的重差到底是什麼，劉徽現在給出重差的典型，他說：「立兩表於洛陽之城，令高八尺。南北各盡平地，同日度其正中之景，以景差為法，表高乘表間為實，實如法而一，所得加表高，即日去地也。以南表乘表間為實，實如法而一，即為從南表至南戴日下也。以南戴日下及日去地為勾、股，為之求弦，即日去人也。」這段話建立了重差的基本公式，也就是令圖二中 S 為日，T 為日下，AB，DE 為等高二表，BC，EF 為表影，從而得到

圖二

我們相信劉徽一定知道，若真的把兩表都立於洛陽之城，根本不可能測出明顯的景差，因為表間相對於去日實在可說渺小得近乎零，圖二事實上又化約到圖一的情形。因此這段話除了給出重差公式的標準型，主要還在強調他的恩想淵源。因此當我們論述重差的正確性時，應該緊緊把握這條思路。也許正因為劉徽知道重差公式在實測上的限制，他把由量天動機導來的算式用去度地了。他說：「雖天圓穹之象猶曰可度，又況泰山之高與江海之廣哉。」而綴於〈勾股〉章之後所謂「度高者重表，測深者累矩，孤離者三望，離而又旁求者四望。」等等變化算法，都不再提量天之事了。總而言之，劉徽的〈自序〉強烈的暗示了如下的一條理路：